Как не ошибиться со знаками
Почти каждый неверный ответ решателя TVM происходит из знаков, а не из арифметики. В таблице показано правило для двух самых частых ситуаций.
| Ситуация | PV | PMT | FV |
|---|---|---|---|
| Накопление на счёте | Отрицательная (вы вносите) | Отрицательный (вы вносите) | Положительная (вы снимаете) |
| Погашение кредита | Положительная (вы получаете) | Отрицательный (вы возвращаете) | Ноль или отрицательная при остаточном платеже |
| Оценка вложения | Отрицательная (цена, которую вы платите) | Положительный (полученный доход) | Положительная (выручка от продажи) |
- Вводимая ставка — номинальная годовая, делённая на число периодов в году. Если продукт котирует эффективную годовую ставку, переведите её перед вводом.
- Поиск числа периодов редко даёт целое число. Дробный результат означает, что последний период неполный.
Что означает временная стоимость денег
Деньги, доступные сейчас, стоят больше той же суммы позже, потому что за это время они могут принести доход. Временная стоимость денег переводит эту интуицию в уравнение, связывающее единовременную сумму сегодня, поток равных платежей, единовременную сумму в конце, процентную ставку и число периодов.
Спотыкаются обычно на знаковом правиле, а оно не произвольно. Полученные деньги положительны, выплаченные отрицательны: вклад отрицателен, а снимаемый позже остаток положителен; полученный кредит положителен, а выплачиваемые взносы отрицательны. Если все значения несут один знак, у уравнения нет осмысленного решения.
Платежи могут приходиться на конец каждого периода — это обычный аннуитет, применяемый к большинству кредитов, — или на начало, то есть аннуитет пренумерандо, как в аренде и многих страховых премиях. Платёж в начале даёт каждому взносу один лишний период на начисление, поэтому две настройки дают разные ответы.
Как пользоваться калькулятором TVM
- Выберите, какую из пяти величин вы ищете. Поле для неё исчезнет — она и есть ответ.
- Введите остальные четыре, соблюдая знаковое правило: выплаченные деньги отрицательны, полученные положительны.
- Задайте число периодов в году. Двенадцать для ежемесячных, четыре для ежеквартальных, один для годовых.
- Выберите, приходятся ли платежи на конец или на начало каждого периода.
- Прочитайте результат. При поиске ставки показываются и годовая, и эффективная годовая.
Уравнение, лежащее в основе решателя
Все пять величин удовлетворяют одному соотношению. Текущая стоимость наращивается вперёд на n периодов, поток платежей оценивается как аннуитет, к ним прибавляется будущая стоимость; при согласованных значениях сумма равна нулю.
Четыре из пяти выделяются алгебраически. Ставка — нет, поэтому её находят бисекцией: тем же способом и по той же причине, что и в калькуляторе процентной ставки.
Частые ошибки
- Вводить все значения положительными. Уравнению нужна хотя бы одна смена знака, чтобы решение существовало.
- Смешивать годовую ставку с месячными периодами, не задав число периодов в году.
- Применять настройку обычного аннуитета к платежам вперёд, например к аренде: это аннуитет пренумерандо.
- Вводить эффективную годовую ставку там, где ожидается номинальная.
- Читать дробное число периодов как ошибку, а не как неполный последний период.
Часто задаваемые вопросы
Какие пять величин входят в TVM?
Текущая стоимость, будущая стоимость, платёж за период, число периодов и процентная ставка. Их связывает одно уравнение, поэтому любые четыре определяют пятую. Это тот же набор, который финансовый калькулятор обозначает PV, FV, PMT, N и I/Y.
Почему нужно вводить отрицательные числа?
Потому что уравнение уравновешивает поступления и выплаты. Выплаченные деньги отрицательны, полученные положительны. Откладывать 100 в месяц к цели — это платёж -100; снимаемый в итоге остаток положителен. Если все величины одного знака, уравновешивать нечего и решения не существует.
В чём разница между обычным аннуитетом и аннуитетом пренумерандо?
Обычный аннуитет платит в конце каждого периода и является стандартом для кредитов. Аннуитет пренумерандо платит в начале — так устроены аренда и многие страховые премии. Поскольку каждый платёж пренумерандо получает один лишний период на начисление, его стоимость в (1 + i) раз больше стоимости эквивалентного обычного аннуитета.
Как находят ставку, если для неё нет формулы?
Численным поиском. Ставка входит и как множитель, и в показатель степени, поэтому её нельзя выделить. Решатель заключает ответ в интервал и многократно делит его пополам, пока не сойдётся далеко за пределами точности отображения.
В чём разница между годовой и эффективной годовой ставкой?
Годовая ставка здесь номинальная — периодическая, умноженная на число периодов в году, без учёта капитализации внутри года. Эффективная годовая ставка, (1 + i)^m - 1, эту капитализацию учитывает и служит правильной основой для сравнения продуктов с разной частотой начисления.
Источники
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance, 13th edition. McGraw-Hill Education, 2019 — chapters on present value and valuing annuities.
- Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. Investments, 12th edition. McGraw-Hill Education, 2021.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edition. Cambridge University Press, 2007 — root finding by bisection.