Как понимать результаты расчёта сложных процентов
Таблица ниже показывает, как периодичность начисления влияет на эффективную годовую доходность (EAY) при номинальной ставке 6% годовых. Более частое начисление даёт постепенно больше процентов.
| Периодичность начисления | Эффективная годовая доходность (при номинальной ставке 6%) |
|---|---|
| Ежегодно (n=1) | 6,000% |
| Ежеквартально (n=4) | 6,136% |
| Ежемесячно (n=12) | 6,168% |
| Ежедневно (n=365) | 6,183% |
| Непрерывное начисление | 6,184% |
- Этот калькулятор моделирует взносы как фиксированные ежемесячные суммы. Реальная доходность инвестиций переменна; использование единой средней ставки доходности — упрощение, которое может не отражать реальную волатильность портфеля.
- Правило 72 наиболее точно для годового начисления и процентных ставок от 4% до 12%. Для ставок вне этого диапазона или для более частого начисления точное время удвоения следует рассчитывать как ln(2)/ln(1+r).
- Инфляция не вычитается из показанной будущей стоимости. Чтобы оценить реальный (скорректированный на покупательную способность) рост, вычтите ожидаемый уровень инфляции из номинальной процентной ставки перед расчётом.
- Доходность инвестиций в акции, облигации и другие активы не гарантирована и может быть отрицательной. Доходность в прошлом не гарантирует результатов в будущем.
Что такое сложные проценты?
Сложные проценты — это процесс, при котором проценты, начисленные за один период, добавляются к основной сумме, и в последующие периоды проценты начисляются уже на увеличенную совокупную сумму. Чем чаще происходит начисление процентов, тем быстрее растёт баланс, поскольку начисленные проценты раньше начинают приносить собственные проценты. Альберту Эйнштейну часто (хотя и, вероятно, ошибочно) приписывают фразу о том, что сложные проценты — «восьмое чудо света»; независимо от источника, сам математический феномен хорошо изучен.
Периодичность начисления — годовая, квартальная, месячная или ежедневная — определяет, сколько раз в год проценты рассчитываются и добавляются к балансу. Ежемесячное начисление (n = 12) — наиболее распространённая периодичность для сберегательных и многих инвестиционных счетов. Ежедневное начисление (n = 365) используется в некоторых высокодоходных сберегательных счетах и фондах денежного рынка. Разница между ежемесячным и ежедневным начислением невелика для большинства практических целей.
Правило 72 — известная в финансах приближённая оценка: деление 72 на годовую процентную ставку даёт приблизительное число лет, необходимое для удвоения стоимости вложения. При ставке 6% в год 72 ÷ 6 = 12 лет. Правило наиболее точно для ставок от 4% до 12% и для годового начисления. Этот калькулятор показывает оценку по правилу 72 при вводе любой положительной процентной ставки.
Как пользоваться этим калькулятором сложных процентов
- Введите первоначальную сумму — стартовый баланс или единовременный вклад.
- Введите сумму регулярного ежемесячного взноса, если он есть. Установите ноль для расчёта только единовременного вклада.
- Введите годовую процентную ставку в процентах.
- Введите период времени в годах.
- Выберите периодичность начисления из выпадающего списка (ежегодно, ежеквартально, ежемесячно или ежедневно).
- Ознакомьтесь с будущей стоимостью, общей вложенной суммой, общей суммой начисленных процентов и оценочным временем удвоения.
Формула сложных процентов
Будущая стоимость единовременного вклада, начисляемого по ставке r, n раз в год, за t лет, определяется по формуле ниже. Будущая стоимость регулярных ежемесячных взносов добавляется по отдельной формуле аннуитета, начисляемой по месячной ставке (r/12), поскольку предполагается, что взносы вносятся ежемесячно независимо от выбранной периодичности начисления для единовременного вклада.
Приближение по правилу 72 делит 72 на годовую процентную ставку (выраженную в процентах, а не в виде десятичной дроби). Приближение работает, потому что ln(2) ≈ 0,693, и правило заменяет натуральный логарифм на 0,72/ставка для удобства устного счёта.
Часто задаваемые вопросы
Какова формула сложных процентов?
Формула сложных процентов: A = P(1 + r/n)^(nt), где A — будущая стоимость, P — первоначальная сумма, r — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, n — число периодов начисления в год, а t — время в годах. Например, 10 000 $, вложенные под 5% с ежемесячным начислением на 10 лет, вырастут до: 10 000 × (1 + 0,05/12)^(12×10) = 16 470 $.
Что такое правило 72?
Правило 72 — это приближённый расчёт в уме, позволяющий оценить, за сколько лет вложение удвоится: разделите 72 на годовую процентную ставку, выраженную в процентах. При ставке 8% в год 72 ÷ 8 = 9 лет до удвоения. Правило выведено из точной формулы t = ln(2)/ln(1+r) и наиболее точно для ставок примерно от 4% до 12%.
Как периодичность начисления влияет на рост?
Более частое начисление даёт более высокую эффективную доходность, поскольку начисленные проценты добавляются к основной сумме раньше и начинают приносить собственные проценты. Однако разница между ежемесячным и ежедневным начислением невелика для большинства практических целей. При номинальной ставке 6% ежемесячное начисление даёт эффективную доходность 6,168%, а ежедневное — 6,183% — разница составляет 0,015 процентного пункта.
В чём разница между годовой процентной доходностью (APY) и годовой процентной ставкой (APR)?
APR (годовая процентная ставка) — это номинальная годовая процентная ставка, не учитывающая начисление процентов. APY (годовая процентная доходность, также называемая эффективной годовой ставкой) отражает фактическую доходность после начисления в течение года. APY = (1 + APR/n)^n − 1, где n — число периодов начисления в год. Сберегательные счета рекламируют именно APY, поскольку он показывает реальную полученную доходность.
Применяются ли сложные проценты к долгу?
Да. Кредитные карты, ипотека, студенческие кредиты и многие другие виды долга начисляются по принципу сложных процентов — то есть неуплаченные проценты добавляются к непогашенному остатку, а последующие проценты начисляются уже на эту увеличенную сумму. Именно поэтому длительное сохранение остатка на кредитной карте с высокой ставкой приводит к переплате, значительно превышающей первоначально заимствованную сумму.
Источники
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill, 2020. Chapter 2: Discounted Cash Flow Analysis.
- Ross SA, Westerfield R, Jordan BD. Fundamentals of Corporate Finance (12th ed.). McGraw-Hill, 2019. Chapter 5: Introduction to Valuation.
- Consumer Financial Protection Bureau (CFPB). What is APY? consumerfinance.gov.
- Federal Deposit Insurance Corporation (FDIC). Understanding deposit insurance and savings account yields. fdic.gov.