चिह्न सही रखना
TVM हल से आने वाला लगभग हर गलत जवाब चिह्नों से आता है, अंकगणित से नहीं. सारणी दो सबसे आम स्थितियों की परंपरा दिखाती है.
| स्थिति | PV | PMT | FV |
|---|---|---|---|
| खाते में बचत करना | ऋणात्मक (आप जमा करते हैं) | ऋणात्मक (आप जमा करते हैं) | धनात्मक (आप निकालते हैं) |
| ऋण चुकाना | धनात्मक (आपको मिलता है) | ऋणात्मक (आप चुकाते हैं) | शून्य, या बड़ी अंतिम किस्त बची हो तो ऋणात्मक |
| निवेश का मूल्यांकन | ऋणात्मक (आपकी चुकाई कीमत) | धनात्मक (मिली हुई आय) | धनात्मक (बिक्री से प्राप्ति) |
- भरी जाने वाली दर नाममात्र वार्षिक दर है जिसे प्रति वर्ष अवधियों की संख्या से भाग दिया गया हो. जहाँ कोई उत्पाद इसके बजाय प्रभावी वार्षिक दर बताता हो, वहाँ भरने से पहले उसे बदल लें.
- अवधियों की संख्या निकालने पर पूरी संख्या शायद ही कभी आती है. भिन्नात्मक नतीजे का मतलब है कि आखिरी अवधि अधूरी है.
धन के समय-मूल्य का अर्थ
अभी उपलब्ध पैसा बाद की उतनी ही रकम से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि इस बीच वह प्रतिफल कमा सकता है. धन का समय-मूल्य इस सहज समझ को एक समीकरण में बदल देता है जो आज की एकमुश्त रकम, बराबर किस्तों की धारा, अंत की एकमुश्त रकम, ब्याज दर और अवधियों की संख्या को आपस में जोड़ता है.
लोग चिह्न परंपरा पर ही अटकते हैं, और वह मनमानी नहीं है. जो नकदी आपको मिलती है वह धनात्मक और जो आप चुकाते हैं वह ऋणात्मक होती है, इसलिए जमा ऋणात्मक है और बाद में निकाला गया शेष धनात्मक; मिला हुआ ऋण धनात्मक है और चुकाई गई किस्तें ऋणात्मक. अगर हर मान का चिह्न एक ही हो, तो समीकरण का कोई सार्थक हल नहीं बचता.
किस्तें हर अवधि के अंत में पड़ सकती हैं, जो अधिकतर ऋणों में चलने वाली सामान्य वार्षिकी है, या आरंभ में, जो किराए और कई बीमा प्रीमियमों वाली अग्रिम वार्षिकी है. आरंभ में चुकाने से हर किस्त को कमाने या बढ़ने के लिए एक अवधि अधिक मिलती है, इसलिए दोनों सेटिंग अलग जवाब देती हैं.
TVM कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- चुनें कि पाँच राशियों में से कौन सी आपको निकालनी है. उसका खाना गायब हो जाएगा — वही उत्तर है.
- बाकी चार भरें, चिह्न परंपरा का ध्यान रखते हुए: चुकाया गया पैसा ऋणात्मक, मिला हुआ पैसा धनात्मक.
- प्रति वर्ष अवधियों की संख्या तय करें. मासिक के लिए बारह, तिमाही के लिए चार, वार्षिक के लिए एक.
- चुनें कि किस्तें हर अवधि के अंत में पड़ती हैं या आरंभ में.
- नतीजा पढ़ें. दर निकालते समय वार्षिक दर और प्रभावी वार्षिक दर, दोनों दिखाई जाती हैं.
हल के पीछे का समीकरण
पाँचों राशियाँ एक ही संबंध को संतुष्ट करती हैं. वर्तमान मूल्य को n अवधियों तक आगे बढ़ाया जाता है, किस्तों की धारा का मूल्यांकन वार्षिकी के रूप में होता है, और भविष्य मूल्य जोड़ दिया जाता है; संगत मानों पर कुल शून्य आता है.
पाँच में से चार को बीजगणित से अलग किया जा सकता है. दर को नहीं, इसलिए उसे द्विभाजन से निकाला जाता है — वही तरीका जो ब्याज दर कैलकुलेटर अपनाता है, और उसी कारण से.
आम गलतियाँ
- हर मान धनात्मक भरना. हल के लिए समीकरण को कम से कम एक चिह्न-परिवर्तन चाहिए.
- प्रति वर्ष अवधियाँ तय किए बिना वार्षिक दर को मासिक अवधियों के साथ मिला देना.
- पहले से चुकाई जाने वाली किस्तों पर, जैसे किराया, सामान्य वार्षिकी वाली सेटिंग लगाना — वे अग्रिम वार्षिकी हैं.
- वहाँ प्रभावी वार्षिक दर भरना जहाँ नाममात्र दर अपेक्षित है.
- अवधियों की भिन्नात्मक संख्या को त्रुटि समझना, न कि अधूरी अंतिम अवधि.
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
TVM के पाँच चर कौन से हैं?
वर्तमान मूल्य, भविष्य मूल्य, प्रति अवधि किस्त, अवधियों की संख्या और ब्याज दर. इन्हें एक ही समीकरण जोड़ता है, इसलिए कोई चार पाँचवें को तय कर देते हैं. यह वही समूह है जिसे वित्तीय कैलकुलेटर PV, FV, PMT, N और I/Y कहते हैं.
मुझे ऋणात्मक संख्याएँ क्यों भरनी पड़ती हैं?
क्योंकि समीकरण आवक और जावक को संतुलित करता है. जो पैसा आप चुकाते हैं वह ऋणात्मक और जो आपको मिलता है वह धनात्मक. किसी लक्ष्य के लिए हर महीने 100 बचाना -100 की किस्त है; अंत में निकाला गया शेष धनात्मक. अगर हर आँकड़े का चिह्न एक ही हो तो संतुलित करने को कुछ बचता ही नहीं और कोई हल नहीं होता.
सामान्य वार्षिकी और अग्रिम वार्षिकी में क्या अंतर है?
सामान्य वार्षिकी हर अवधि के अंत में भुगतान करती है और ऋणों के लिए मानक है. अग्रिम वार्षिकी आरंभ में भुगतान करती है, जैसे किराया और कई बीमा प्रीमियम. चूँकि अग्रिम वार्षिकी की हर किस्त को चक्रवृद्धि के लिए एक अवधि अधिक मिलती है, इसलिए उसका मूल्य समकक्ष सामान्य वार्षिकी से (1 + i) गुना होता है.
जब दर का कोई सूत्र ही नहीं, तो उसे कैसे निकाला जाता है?
संख्यात्मक खोज से. दर गुणक के रूप में भी आती है और घातांक के भीतर भी, इसलिए उसे अलग नहीं किया जा सकता. हल उत्तर को एक अंतराल में बाँधता है और उसे बार-बार आधा करता जाता है जब तक वह प्रदर्शन की परिशुद्धता से कहीं आगे तक अभिसरित न हो जाए.
वार्षिक दर और प्रभावी वार्षिक दर में क्या अंतर है?
यहाँ वार्षिक दर नाममात्र है — आवधिक दर को साल की अवधियों की संख्या से गुणा किया हुआ, साल के भीतर की चक्रवृद्धि को अनदेखा करते हुए. प्रभावी वार्षिक दर, (1 + i)^m - 1, उस चक्रवृद्धि को शामिल करती है, और अलग-अलग चक्रवृद्धि आवृत्ति वाले उत्पादों की तुलना के लिए यही सही आधार है.
संदर्भ
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance, 13th edition. McGraw-Hill Education, 2019 — chapters on present value and valuing annuities.
- Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. Investments, 12th edition. McGraw-Hill Education, 2021.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edition. Cambridge University Press, 2007 — root finding by bisection.