Die Vorzeichen richtig setzen
Fast jede falsche Antwort eines solchen Rechners kommt von den Vorzeichen und nicht von der Arithmetik. Die Tabelle zeigt die Konvention für die beiden häufigsten Fälle.
| Situation | BW | PMT | EW |
|---|---|---|---|
| Auf ein Konto sparen | Negativ (Sie zahlen ein) | Negativ (Sie zahlen ein) | Positiv (Sie entnehmen) |
| Ein Darlehen tilgen | Positiv (Sie erhalten es) | Negativ (Sie zahlen zurück) | Null, oder negativ bei Schlussrate |
| Eine Anlage bewerten | Negativ (der gezahlte Preis) | Positiv (erhaltene Erträge) | Positiv (Verkaufserlös) |
- Der eingegebene Zinssatz ist ein nominaler Jahreszins geteilt durch die Anzahl der Perioden pro Jahr. Zeichnet ein Produkt stattdessen einen effektiven Jahreszins aus, rechnen Sie ihn vor der Eingabe um.
- Das Auflösen nach der Periodenzahl ergibt selten eine ganze Zahl. Ein gebrochenes Ergebnis bedeutet, dass die letzte Periode nur teilweise anfällt.
Was der Zeitwert des Geldes bedeutet
Heute verfügbares Geld ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es in der Zwischenzeit Ertrag bringen kann. Der Zeitwert des Geldes gießt diese Intuition in eine Gleichung, die einen Betrag heute, einen Strom gleichbleibender Raten, einen Betrag am Ende, einen Zinssatz und eine Anzahl von Perioden verknüpft.
Die Vorzeichenkonvention ist die Stolperstelle, und sie ist nicht willkürlich. Geld, das Sie erhalten, ist positiv, Geld, das Sie zahlen, negativ — eine Einzahlung ist also negativ und der später entnommene Saldo positiv; ein erhaltenes Darlehen ist positiv und die gezahlten Raten sind negativ. Tragen alle Werte dasselbe Vorzeichen, hat die Gleichung keine sinnvolle Lösung.
Zahlungen können am Ende jeder Periode fällig sein — die nachschüssige Rente der meisten Darlehen — oder am Anfang, die vorschüssige Rente von Miete und vielen Versicherungsprämien. Zahlung am Anfang gibt jeder Rate eine Periode mehr zum Verzinsen, weshalb die beiden Einstellungen unterschiedliche Ergebnisse liefern.
So verwenden Sie den Rechner
- Wählen Sie, welche der fünf Größen Sie suchen. Das Feld dieser Größe verschwindet — sie ist die Antwort.
- Geben Sie die anderen vier ein und beachten Sie die Vorzeichen: Geld, das abfließt, ist negativ, Geld, das zufließt, positiv.
- Legen Sie die Anzahl der Perioden pro Jahr fest. Zwölf für monatlich, vier für vierteljährlich, eins für jährlich.
- Wählen Sie, ob Zahlungen am Ende oder am Anfang jeder Periode fällig sind.
- Lesen Sie das Ergebnis ab. Beim Auflösen nach einem Zinssatz werden Jahreszins und effektiver Jahreszins angezeigt.
Die Gleichung hinter dem Rechner
Alle fünf Größen erfüllen eine einzige Beziehung. Der Barwert wird über n Perioden aufgezinst, der Ratenstrom als Rente bewertet und der Endwert addiert; bei widerspruchsfreien Werten ergibt die Summe null.
Vier der fünf lassen sich algebraisch isolieren. Der Zinssatz nicht, er wird daher per Bisektion bestimmt — derselbe Weg wie beim Zinssatzrechner und aus demselben Grund.
Häufige Fehler
- Alle Werte positiv einzugeben. Die Gleichung braucht mindestens einen Vorzeichenwechsel, um eine Lösung zu haben.
- Einen Jahreszins mit monatlichen Perioden zu mischen, ohne die Perioden pro Jahr zu setzen.
- Die nachschüssige Einstellung für im Voraus gezahlte Beträge wie Miete zu verwenden, die vorschüssige Renten sind.
- Einen effektiven Jahreszins einzugeben, wo ein nominaler erwartet wird.
- Eine gebrochene Periodenzahl für einen Fehler zu halten statt für eine teilweise letzte Periode.
Häufig gestellte Fragen
Was sind die fünf Größen des Zeitwerts des Geldes?
Barwert, Endwert, Rate je Periode, Anzahl der Perioden und Zinssatz. Sie sind durch eine Gleichung verknüpft, sodass vier beliebige die fünfte bestimmen. Es ist dieselbe Menge, die ein Finanztaschenrechner als PV, FV, PMT, N und I/Y bezeichnet.
Warum muss ich negative Zahlen eingeben?
Weil die Gleichung Zuflüsse gegen Abflüsse abgleicht. Geld, das Sie zahlen, ist negativ, Geld, das Sie erhalten, positiv. Monatlich 100 auf ein Sparziel einzuzahlen ist eine Rate von -100; der später entnommene Saldo ist positiv. Tragen alle Zahlen dasselbe Vorzeichen, gibt es nichts abzugleichen und keine Lösung.
Was ist der Unterschied zwischen nachschüssiger und vorschüssiger Rente?
Die nachschüssige Rente zahlt am Ende jeder Periode und ist der Standard bei Darlehen. Die vorschüssige zahlt am Anfang, so wie Miete und viele Versicherungsprämien. Weil jede Zahlung einer vorschüssigen Rente eine Periode länger verzinst wird, ist ihr Wert das (1 + i)-fache der entsprechenden nachschüssigen.
Wie wird der Zinssatz gelöst, wenn er keine Formel hat?
Durch numerische Suche. Der Zinssatz tritt zugleich als Multiplikator und im Exponenten auf und lässt sich daher nicht isolieren. Der Rechner grenzt die Lösung ein und halbiert das Intervall so lange, bis er weit über die Anzeigegenauigkeit hinaus konvergiert.
Was ist der Unterschied zwischen Jahreszins und effektivem Jahreszins?
Der Jahreszins hier ist nominal: der periodische Zinssatz mal der Anzahl der Perioden im Jahr, ohne die unterjährige Verzinsung. Der effektive Jahreszins, (1 + i)^m - 1, schließt sie ein und ist die richtige Grundlage, um Produkte mit unterschiedlicher Verzinsungshäufigkeit zu vergleichen.
Quellenangaben
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance, 13th edition. McGraw-Hill Education, 2019 — chapters on present value and valuing annuities.
- Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. Investments, 12th edition. McGraw-Hill Education, 2021.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edition. Cambridge University Press, 2007 — root finding by bisection.