Nominal gegen effektiv
Die beiden Zinssätze beantworten verschiedene Fragen. Der Nominalzins ist das, was ein Vertrag auszeichnet; der Effektivzins ist das, was ein Jahr monatlicher Verzinsung tatsächlich kostet. Den Nominalzins eines Angebots mit dem Effektivzins eines anderen zu vergleichen begünstigt immer das zweite.
| Zinssatz | Was er ist | Wofür er taugt |
|---|---|---|
| Monatszins | Der Satz, der monatlich auf den Saldo angewandt wird | Den Tilgungsplan nachzubilden |
| Nominaler Jahreszins | Der Monatszins mal 12 | Den Vergleich mit dem ausgezeichneten Satz eines Kreditgebers |
| Effektiver Jahreszins | Die tatsächlichen Jahreskosten bei monatlicher Verzinsung | Den Vergleich von Produkten mit unterschiedlicher Verzinsung |
- Dies ist der aus den Zahlungsströmen implizite Zinssatz, kein effektiver Jahreszins im regulatorischen Sinn. Dieser schließt Gebühren und Kosten ein, sodass er bei einem Darlehen mit Bearbeitungsgebühren höher liegt als der hier ermittelte Satz.
- Übersteigt die Summe der Raten den aufgenommenen Betrag nicht, existiert kein nichtnegativer Zinssatz, und der Rechner sagt das, statt einen negativen Satz auszugeben, als wäre er ein Rabatt.
Was der implizite Zinssatz ist
Vier Größen beschreiben ein Festzinsdarlehen: Betrag, Rate, Laufzeit und Zinssatz. Legen Sie drei beliebige fest, und die vierte folgt. Dieser Rechner legt Betrag, Rate und Laufzeit fest und findet den Zinssatz, der sie widerspruchsfrei macht.
Anders als Rate oder Laufzeit lässt sich der Zinssatz nicht algebraisch isolieren — er tritt zugleich als Faktor und im Exponenten auf. Er wird deshalb durch numerische Suche bestimmt, indem ein Intervall, das die Lösung nachweislich enthält, so lange verengt wird, bis sie weit über die Anzeigegenauigkeit hinaus feststeht.
Der nominale Jahreszins ist schlicht der Monatszins mal zwölf, so wie Kreditgeber üblicherweise auszeichnen. Der effektive Jahreszins berücksichtigt die monatliche Verzinsung der Zinsen und ist stets der größere der beiden.
So verwenden Sie den Zinssatzrechner
- Geben Sie den tatsächlich aufgenommenen Betrag ein, nicht den Kaufpreis.
- Geben Sie die vertragliche Monatsrate ein.
- Geben Sie die Laufzeit in Monaten ein.
- Lesen Sie den nominalen Jahreszins ab, der mit dem ausgezeichneten Zinssatz eines Kreditgebers vergleichbar ist, und daneben den effektiven Jahreszins.
Wie der Zinssatz gefunden wird
Der Zinssatz i löst P = Rate x (1 - (1 + i)^-n) / i. Weil i nicht isoliert werden kann, wertet der Rechner die Differenz beider Seiten über ein Intervall aus, das nachweislich einen Vorzeichenwechsel enthält, und halbiert dieses Intervall wiederholt — das Bisektionsverfahren. Bisektion statt eines ableitungsbasierten Verfahrens, weil sie bei vorhandenem Intervall nicht divergieren kann.
Die Suche läuft bis zu einer Toleranz weit unterhalb der angezeigten Genauigkeit, sodass der ausgewiesene Zinssatz durch die Anzeigerundung begrenzt ist und nicht durch das Verfahren.
Häufige Fehler
- Das Ergebnis für einen effektiven Jahreszins zu halten. Es ist der aus den Raten implizite Zinssatz vor Gebühren.
- Den Kaufpreis statt des finanzierten Betrags einzugeben.
- Diesen Nominalzins mit dem Effektivzins eines anderen Produkts zu vergleichen.
- Die Gesamtrückzahlung als Monatsrate einzugeben.
- Einen Zinssatz zu erwarten, wenn die Raten das Kapital nie tilgen — dann existiert keiner.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechnet man den Zinssatz eines Darlehens?
Aus Betrag, Rate und Laufzeit über P = Rate x (1 - (1 + i)^-n) / i. Der Zinssatz i lässt sich nicht algebraisch isolieren und wird daher numerisch bestimmt. 20.000 aufzunehmen und 60 Monate lang 387 zu zahlen entspricht einem Monatszins von 0,5031%, einem nominalen Jahreszins von 6,037% und einem effektiven Jahreszins von 6,207%.
Warum lässt sich der Zinssatz nicht direkt auflösen?
Weil der Zinssatz in der Rentengleichung zugleich als Multiplikator und im Exponenten auftritt, wofür es keine algebraische Umstellung nach i gibt. Finanztaschenrechner und Tabellenkalkulationen nutzen alle eine numerische Suche; dieser Rechner nutzt Bisektion, die ohne Ableitung zuverlässig konvergiert.
Was ist der Unterschied zwischen nominalem und effektivem Jahreszins?
Der Nominalzins ist der Monatszins mal zwölf und lässt die unterjährige Verzinsung außer Acht. Der Effektivzins ist (1 + i)^12 - 1 und schließt sie ein. Bei einem Monatszins von 0,5031% beträgt der Nominalzins 6,037% und der Effektivzins 6,207%.
Ist das dasselbe wie der effektive Jahreszins im Kreditvertrag?
Nein. Der ausgewiesene effektive Jahreszins ist eine regulierte Angabe, die Gebühren und bestimmte Kosten neben den Zinsen enthält und daher in der Regel höher ist. Nutzen Sie diesen Wert, um den aus den Raten impliziten Zinssatz zu prüfen, und die Angabe des Kreditgebers, um die Gesamtkosten zu vergleichen.
Was, wenn die Raten in der Summe weniger ergeben als der aufgenommene Betrag?
Dann kann kein nichtnegativer Zinssatz den Vertrag erklären, und der Rechner benennt die Rate als zu klein, statt einen negativen Satz auszugeben. In der Praxis bedeutet das meist, dass eine der drei Eingaben falsch ist.
Quellenangaben
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance, 13th edition. McGraw-Hill Education, 2019 — internal rate of return and annuity valuation.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edition. Cambridge University Press, 2007 — bisection and bracketing of roots.
- US Consumer Financial Protection Bureau. Regulation Z (12 CFR Part 1026), Appendix J — annual percentage rate computations for closed-end credit.