Standart sapmanızı anlamak
Yaklaşık normal (çan eğrisi biçimli) veriler için, ampirik kural, verinin ne kadarının ortalamanın belirli sayıda standart sapması içinde kaldığını tanımlar.
| Ortalama etrafındaki aralık | Verinin yaklaşık payı (normal dağılım) |
|---|---|
| 1 standart sapma içinde | Yaklaşık %68 |
| 2 standart sapma içinde | Yaklaşık %95 |
| 3 standart sapma içinde | Yaklaşık %99,7 |
- 68-95-99,7 ampirik kuralı yaklaşık normal dağılımlar için geçerlidir; güçlü biçimde çarpık veya ağır kuyruklu veriler bu yüzdelerden önemli ölçüde sapabilir.
- Veriler daha büyük bir popülasyon hakkında çıkarım yapmak için kullanılan bir örneklem olduğunda örneklem biçimini (n - 1) kullanın; popülasyon biçimini (n) yalnızca veri kümesi ilgilenilen popülasyonun tamamı olduğunda kullanın.
- Standart sapma, sapmalar karesi alındığı için aykırı değerlere duyarlıdır; tek bir aşırı değer onu belirgin biçimde şişirebilir.
- Bu hesaplayıcı en az iki değer gerektirir, çünkü yayılım tek bir gözlemden tahmin edilemez.
Standart sapma nedir?
Standart sapma, veri değerlerinin ortalamalarına olan tipik uzaklığını ölçer. Küçük bir standart sapma, değerlerin ortalama etrafında sıkı biçimde kümelendiği anlamına gelir; büyük bir standart sapma ise değerlerin geniş biçimde dağıldığı anlamına gelir. Veriyle aynı birimlerle ifade edilir, bu da onu karesi olan varyanstan yorumlaması daha kolay hale getirir.
Buradaki temel öğretici nokta, örneklem ve popülasyon biçimleri arasındaki ayrımdır. Popülasyon standart sapması (sigma), kareli sapmaların toplamını n'ye böler ve yalnızca veri kümesi ilgilenilen popülasyonun tamamı olduğunda doğrudur — örneğin, belirli bir sınıftaki tüm öğrencilerin sınav notları. Örneklem standart sapması (s) ise bunun yerine n - 1'e böler ve veriler daha büyük bir popülasyonun yayılımını tahmin etmek için kullanılan bir örneklem olduğunda doğrudur.
n - 1'e bölmek Bessel düzeltmesi olarak bilinir. Örneklem ortalaması aynı verilerden hesaplandığından, bu ortalama etrafındaki sapmalar, gerçek (bilinmeyen) popülasyon ortalaması etrafındaki sapmalardan sistematik olarak biraz daha küçüktür; n yerine n - 1'e bölmek bunu telafi eder ve örneklem varyansını popülasyon varyansının yansız bir tahmincisi yapar. Düzeltme en çok küçük örneklemlerde önemlidir ve n büyüdükçe ihmal edilebilir hale gelir.
Bu standart sapma hesaplama aracı nasıl kullanılır
- En az iki sayıyı noktalı virgülle ayırarak girin, örneğin: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16.
- Verileriniz daha büyük bir popülasyondan alınan bir örneklemse — anketlerde, deneylerde ve kalite kontrollerinde olağan durum — örneklem standart sapmasını (s) okuyun.
- Verileriniz ilgilenilen popülasyonun tamamıysa popülasyon standart sapmasını (sigma) okuyun.
- Hesaplamayı kontrol etmek veya güven aralıkları ve z-puanları gibi ileri analizlere taşımak için ortalamayı, örneklem varyansını ve sayı adedini kullanın.
Standart sapma formülleri
Her iki biçim de aynı şekilde başlar: ortalamayı hesaplayın, her değerden çıkarın, her sapmanın karesini alın ve kareleri toplayın. Popülasyon biçimi bu toplamı n'ye böler ve karekökünü alır; örneklem biçimi n - 1'e böler ve karekökünü alır.
Çözülmüş örnek: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 değerleri. Adım 1 — ortalama: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Adım 2 — kareli sapmalar: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, toplamı 32'dir. Adım 3 (popülasyon) — 32 / 8 = 4 ve sqrt(4) = 2. Adım 4 (örneklem) — 32 / 7 = 4,571429 (örneklem varyansı) ve sqrt(4,571429) = 2,13809 (yuvarlanmış).
Aynı veriler için örneklem değeri her zaman popülasyon değerinden biraz daha büyüktür, çünkü daha küçük bir sayıya bölünür — tüm değerler aynı olmadıkça, bu durumda ikisi de sıfırdır. Örneklem büyüdükçe fark küçülür.
Sık yapılan hatalar
- Örneklem verisi üzerinde popülasyon formülünü (n'ye bölme) kullanmak — bu, örneklemin alındığı popülasyonun yayılımını sistematik olarak olduğundan düşük gösterir; örneklemler için n - 1'e bölün.
- Varyansı standart sapmayla karıştırmak: varyans, standart sapmanın karesidir ve kare birimlerle ifade edilir.
- 68-95-99,7 kuralını, geçerli olmadığı açıkça çarpık veya ağır kuyruklu verilere uygulamak.
- Standartlaştırma yapmadan farklı birimlerle veya çok farklı ölçeklerde ölçülen veri kümelerinin standart sapmalarını karşılaştırmak (göreli yayılım için varyasyon katsayısı ortalamaya böler).
Sıkça Sorulan Sorular
Örneklem ve popülasyon standart sapması arasındaki fark nedir?
Popülasyon standart sapması, kareli sapmaların toplamını n'ye böler ve verileriniz popülasyonun tamamı olduğunda doğrudur. Örneklem standart sapması n - 1'e böler (Bessel düzeltmesi) ve verileriniz daha büyük bir popülasyonun yayılımını tahmin etmek için kullanılan bir örneklem olduğunda doğrudur. Aynı veriler için örneklem değeri her zaman biraz daha büyüktür (tüm değerler aynıysa ikisi de sıfırdır); örneklem büyüklüğü arttıkça fark azalır.
Neden n yerine n - 1'e bölünür?
Örneklem ortalaması aynı verilerden hesaplandığından, bu ortalama etrafında gözlemlenen sapmalar, gerçek popülasyon ortalaması etrafındaki sapmalardan sistematik olarak biraz daha küçüktür. n yerine n - 1'e bölmek bu yanlılığı telafi eder ve örneklem varyansını popülasyon varyansının yansız bir tahmincisi yapar. Bu düzeltmeye Bessel düzeltmesi denir.
Standart sapma elle nasıl hesaplanır?
Önce ortalamayı bulun. Ardından ortalamayı her değerden çıkarın, her sonucun karesini alın ve kareleri toplayın. Örneklem için bu toplamı n - 1'e bölün; popülasyon için n'ye bölün. Son olarak karekökünü alın. Örnek: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 için ortalama 5'tir, kareli sapmaların toplamı 32'dir ve örneklem standart sapması sqrt(32 / 7) = 2,138'dir (yuvarlanmış).
Standart sapmanın 0 olması ne anlama gelir?
Veri kümesindeki her değerin aynı olduğu anlamına gelir — hiç yayılım yoktur. Standart sapma ne kadar büyükse, değerler ortalamadan tipik olarak o kadar farklıdır. Standart sapma asla negatif olamaz.
68-95-99,7 kuralı nedir?
Yaklaşık normal (çan eğrisi biçimli) veriler için değerlerin yaklaşık %68'i ortalamanın bir standart sapması içinde, yaklaşık %95'i iki standart sapması içinde ve yaklaşık %99,7'si üç standart sapması içinde yer alır. Bu kural, bir gözlemin sıra dışı olup olmadığını hızlıca değerlendirmenin bir yoludur, ancak yalnızca dağılım kabaca normal olduğunda güvenilirdir.
Varyans, standart sapmayla aynı mıdır?
Hayır. Varyans, ortalamadan kareli sapmaların ortalamasıdır ve standart sapma bunun karekökünüdür. Varyans kare birimlerle ifade edilir (örneğin, cm cinsinden ölçülen veriler için cm^2), bu nedenle yayılımı tanımlarken genellikle orijinal birimlerdeki standart sapma verilir.
Kaynaklar
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.