Güven aralığınızı anlamak
Aralığın genişliği, tahminin hassasiyetini yansıtır. Aşağıdaki tablo, örnek için (ortalama 50, standart sapma 8, n = 100) aralığın güven düzeyine göre nasıl değiştiğini gösterir.
| Güven düzeyi | z değeri | Hata payı | Aralık |
|---|---|---|---|
| %90 | 1,6449 | 1,316 | 48,684 - 51,316 |
| %95 | 1,96 | 1,568 | 48,432 - 51,568 |
| %99 | 2,5758 | 2,061 | 47,939 - 52,061 |
- Daha yüksek güven, daha geniş bir aralık üretir: kesinlik, hassasiyet pahasına satın alınır.
- Bu, z tabanlı bir aralıktır. Standart sapmanın veriden tahmin edildiği küçük örneklemler için (n yaklaşık 30'un altında), Student t dağılımı daha doğru, biraz daha geniş bir aralık verir.
- Aralık, örneklemin basit rastgele bir örneklem olduğunu ve küçük n için altta yatan verinin yaklaşık olarak normal olduğunu varsayar. Yanlı örnekleme, genişliği ne olursa olsun aralığı geçersiz kılar.
- Örneklem büyüklüğünü dört katına çıkarmak, aralığın genişliğini yarıya indirir, çünkü standart hata 1 / sqrt(n) ile ölçeklenir.
Güven aralığı nedir?
Güven aralığı, örneklem verisinden hesaplanan ve gerçek popülasyon parametresini — burada popülasyon ortalamasını — belirtilen bir uzun vadeli başarı oranıyla içerecek şekilde tasarlanmış bir aralıktır. %95 güven düzeyi, aynı örnekleme prosedürü çok kez tekrarlansaydı, bu şekilde oluşturulan aralıkların yaklaşık %95'inin gerçek ortalamayı içereceği anlamına gelir.
Aralık, örneklem ortalaması etrafında ortalanır ve her yönde bir hata payı kadar genişler. Hata payı, kritik değerin (z) ortalamanın standart hatasıyla çarpılmasıdır ve standart hata, standart sapmanın örneklem büyüklüğünün karekökine bölünmesidir. Daha büyük örneklemler, standart hatayı ve dolayısıyla aralığı, n'nin karekökü oranında küçültür: örneklem büyüklüğünü dört katına çıkarmak aralık genişliğini yarıya indirir.
%95'lik bir aralığın doğru okunuşu, herhangi bir tek aralık hakkında değil, prosedür hakkında bir ifadedir: gerçek ortalamanın bu belirli aralığın içinde yer alma olasılığının %95 olduğunu söylemek kesin olarak doğru değildir — gerçek ortalama sabit bir değerdir ve hesaplanan her aralık ya onu içerir ya da içermez. %95, yöntemin tekrarlanan örneklemler genelinde ne sıklıkla başarılı olduğunu ifade eder.
Bu güven aralığı hesaplama aracı nasıl kullanılır
- Örneklem ortalamasını girin — ölçtüğünüz değerlerin ortalaması.
- Standart sapmayı girin. Verilerinizden hesaplanan örneklem standart sapmasını (n - 1 biçimi) veya biliniyorsa popülasyon değerini kullanın.
- Örneklem büyüklüğünü n (en az 2) girin ve bir güven düzeyi seçin: %90, %95 veya %99.
- Aralığı, hata payını ve standart hatayı okuyun. Popülasyon standart sapması bilinmeyen küçük örneklemler için (genellikle n 30'un altında), t tabanlı bir aralığın biraz daha geniş ve daha doğru olduğunu unutmayın.
Güven aralığı formülü
Bir ortalama için z tabanlı aralık şudur: örneklem ortalaması artı veya eksi z çarpı (standart sapma / sqrt(n)). z kritik değerleri %90 için 1,6449, %95 için 1,96 ve %99 için 2,5758'dir — bunlar, standart normal dağılımın iki kuyrukta karşılık gelen toplam olasılığı bırakan noktalarıdır.
Çözülmüş örnek: ortalama 50, standart sapma 8, n = 100, %95 güven. Adım 1 — standart hata: 8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0,8. Adım 2 — hata payı: 1,96 x 0,8 = 1,568. Adım 3 — aralık: 50 - 1,568 = 48,432 ve 50 + 1,568 = 51,568, dolayısıyla %95 güven aralığı 48,432 ile 51,568 arasındadır.
Bu hesaplayıcı, popülasyon standart sapması bilindiğinde veya örneklem yeterince büyük olduğunda uygun olan standart normal (z) dağılımını kullanır. Örneklem küçük olduğunda (genellikle n 30'un altında) ve popülasyon standart sapması örneklemden tahmin edildiğinde, n - 1 serbestlik derecesine sahip Student t dağılımı biraz daha geniş, daha doğru bir aralık verir; fark n büyüdükçe azalır.
Sık yapılan hatalar
- %95'lik bir aralığı 'verinin %95'i bu aralıkta yer alır' şeklinde yorumlamak — aralık, ortalamayla ilgili belirsizliği tanımlar, tekil gözlemlerin yayılımını değil.
- Gerçek ortalamanın bu belirli aralıkta olma olasılığının %95 olduğunu söylemek; %95, prosedürün tekrarlanan örneklemler genelindeki uzun vadeli başarı oranını tanımlar.
- T dağılımının uygun seçim olduğu, tahmini bir standart sapmaya sahip küçük bir örneklem için z aralığını kullanmak.
- Standart sapma yerine standart hatayı girmek — hesaplayıcı zaten sqrt(n)'e böler.
Sıkça Sorulan Sorular
%95 güven aralığı nasıl hesaplanır?
Standart hatayı hesaplayın (standart sapmanın örneklem büyüklüğünün karekökine bölünmesi), hata payını elde etmek için bunu 1,96 ile çarpın ve bu payı örneklem ortalamasına ekleyip çıkarın. Örnek: ortalama 50, standart sapma 8, n = 100, SE = 0,8, hata payı 1,568 ve 48,432 ile 51,568 arasında bir aralık verir.
%95 güven düzeyi gerçekte ne anlama gelir?
Yöntemin uzun vadeli performansını tanımlar: aynı büyüklükte örneklemleri tekrar tekrar çekip her birinden bir aralık oluştursaydınız, bu aralıkların yaklaşık %95'i gerçek popülasyon ortalamasını içerirdi. Herhangi bir tek aralık ya gerçek ortalamayı içerir ya da içermez — %95, tek bir aralığın değil, prosedürün bir özelliğidir.
Z yerine ne zaman t dağılımını kullanmalıyım?
Örneklem küçük olduğunda (yaygın bir kural n'nin 30'un altında olmasıdır) ve popülasyon standart sapması bilinmeyip örneklemden tahmin edildiğinde Student t dağılımını kullanın. t dağılımı daha ağır kuyruklara sahiptir ve ekstra belirsizliği doğru biçimde hesaba katan biraz daha geniş bir aralık üretir; daha büyük örneklemlerde t ve z aralıkları pratikte özdeş hale gelir.
Güven aralığımı nasıl daraltabilirim?
Üç yol vardır: örneklem büyüklüğünü artırmak (genişlik 1 / sqrt(n) oranında küçülür, bu nedenle n'yi dört katına çıkarmak genişliği yarıya indirir), daha düşük bir güven düzeyini kabul etmek (%90'lık bir aralık %99'luk bir aralıktan daha dardır) veya ölçüm değişkenliğini azaltarak standart sapmanın kendisini küçültmek.
Standart hata ile standart sapma arasındaki fark nedir?
Standart sapma, tekil gözlemlerin ortalama etrafındaki yayılımını ölçer. Standart hata, örneklem ortalamasının kendisinin belirsizliğini ölçer ve standart sapmanın sqrt(n)'e bölünmesine eşittir. Örneklem büyüdükçe, standart sapma popülasyon değerine yakın bir yerde kararlı hale gelirken standart hata sıfıra doğru küçülmeye devam eder.
Kaynaklar
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Student (Gosset WS). The probable error of a mean. Biometrika 1908; 6(1): 1-25 (origin of the t-distribution).