Z-skoru formülü: bir değeri standartlaştırmak
Standart skor da denen z-skoru, ham bir değeri, ait olduğu dağılımın ortalamasından ne kadar uzakta durduğunun ölçüsüne dönüştürür ve bunu özgün birimlerle değil standart sapma birimiyle ifade eder. Formül z = (x − μ) / σ biçimindedir; burada x standartlaştırılan değerdir. Z-skorunun 0 olması değerin tam olarak ortalamaya eşit olduğunu, pozitif olması değerin ortalamanın üstünde, negatif olması ise altında bulunduğunu gösterir.
Değerleri bu şekilde standartlaştırmak, farklı ölçeklerden ya da farklı dağılımlardan gelen ölçümlerin karşılaştırılmasını olanaklı kılar — örneğin ortalamaları ve yayılımları farklı iki sınavdaki öğrenci başarısını karşılaştırmak ya da tek bir laboratuvar sonucunu bir referans aralığıyla değerlendirmek gibi. Z-skoru hem özgün birimleri hem de özgün ölçeği ortadan kaldırdığı için, +1 z-skoru neyin ölçüldüğünden bağımsız olarak her zaman aynı göreli anlamı taşır: geldiği dağılımın ortalamasının bir standart sapma üstü.
Ortalamanın iki standart sapma üstünde olmak ne demek?
Bir değerin ortalamanın iki standart sapma üstünde olduğunu söylemek, z-skorunun +2 olduğunu söylemenin başka bir yoludur: değer, ortalamadan tipik bir gözlemden daha uzaktadır ve bu uzaklık dağılımın standart sapmasının iki katına eşittir. Standart sapma verinin tipik yayılımını ölçtüğü için, 2 ve üzeri (ya da −2 ve altı) bir z-skoru alışılmış olarak sıra dışı sayılır; çünkü yaklaşık normal bir dağılımda merkezden bu kadar uzağa düşen gözlem sayısı görece azdır.
Bu ifade tümüyle dağılım içindeki konumu betimler; ortalamanın iki standart sapma üstünde olmanın iyi, kötü ya da nötr olduğunu kendi başına söylemez. Sınav puanı dağılımında +2 z-skoru genellikle güçlü bir sonuca işaret ederken, tansiyon dağılımında +2 z-skoru genellikle tipik değerlerin epey üstünde ve klinik olarak dikkate değer bir ölçümü gösterir. Z-skoru ortalamadan uzaklığı bildirir; bu uzaklığın ne anlama geldiğini yorumlamak ise her zaman neyin ölçüldüğüne bağlıdır.
Standart normal dağılım ve yüzdelik dilimler
Altta yatan veri yaklaşık normal (çan eğrisi biçiminde) olduğunda, bir z-skoru standart normal birikimli dağılım fonksiyonu kullanılarak yüzdelik dilime çevrilebilir; bu fonksiyon, dağılımın belirli bir z-skorunun altında kalan oranını verir. Bir z-skorunun “bu değer dağılımın kabaca %X'inden yüksektir” biçiminde yeniden ifade edilebilmesini sağlayan da bu dönüşümdür. Aşağıdaki tablo, −2 ile +3 arasındaki tam sayı z-skorları için yerleşik ve standart yüzdelik dilimleri listeler.
| Z-skoru | Yüzdelik dilim (altta kalan dağılım payı) | Üstte kalan pay |
|---|---|---|
| −2 | %2,28 | %97,72 |
| −1 | %15,87 | %84,13 |
| 0 | %50,00 | %50,00 |
| +1 | %84,13 | %15,87 |
| +2 | %97,72 | %2,28 |
| +3 | %99,87 | %0,13 |
Çözümlü örnek: ham bir puanı yüzdelik dilime çevirmek
Ortalaması 100, standart sapması 15 olan bir dağılımdan (IQ puanlarında kullanılan klasik ölçek) alınan x = 130 değerini ele alalım. 1. adım: z-skorunu hesaplayın, z = (130 − 100) / 15 = 30 / 15 = 2. 2. adım: standart normal dağılımda z = 2 değerine bakın; bu değer %97,72'lik dilime karşılık gelir, yani dağılımın yaklaşık %97,72'si 130 değerinin altında ya da ona eşit, yaklaşık %2,28'i ise üstündedir.
Aynı ölçekle ikinci bir örnek: x = 85 değeri için z = (85 − 100) / 15 = −15 / 15 = −1 olur; bu da %15,87'lik dilime karşılık gelir — yani bu değer dağılımın kabaca %84,13'ünün altında, kabaca %15,87'sinin üstünde yer alır. Her iki durumda da hesabın tamamı iki adıma iner: değeri bir z-skoruna standartlaştırın, ardından karşılık gelen yüzdelik dilimi standart normal dağılımdan okuyun.
68-95-99,7 ampirik kuralı
Yaklaşık normal veriler için ampirik kural (kimi zaman 68-95-99,7 kuralı da denir), tam bir yüzdelik dilim araması yapmadan bir z-skorunun ne kadar sıra dışı olduğunu hızla değerlendirmenin bir yolunu sunar: değerlerin yaklaşık %68'i ortalamanın bir standart sapma yakınında (z, −1 ile +1 arasında), yaklaşık %95'i iki standart sapma yakınında (z, −2 ile +2 arasında) ve yaklaşık %99,7'si üç standart sapma yakınında (z, −3 ile +3 arasında) yer alır.
Bu kural doğrudan yukarıdaki yüzdelik dilim tablosundan çıkar: z = −1 ile z = +1 arasındaki pay %84,13 − %15,87 = %68,26, z = −2 ile z = +2 arasındaki pay %97,72 − %2,28 = %95,44, z = −3 ile z = +3 arasındaki pay ise %99,87 − %0,13 = %99,74'tür — hepsi de sık anılan %68, %95 ve %99,7 yaklaşımlarıyla uyumludur. Kural yalnızca altta yatan dağılım yaklaşık normalken geçerlidir; çarpık ya da kalın kuyruklu verilerde, z-skorları yine hesaplanabilse de bu oranlardan belirgin biçimde sapma görülebilir.
Sıkça Sorulan Sorular
Z-skoru nasıl hesaplanır?
Değerden ortalamayı çıkarın, ardından standart sapmaya bölün: z = (x − μ) / σ. Örneğin ortalaması 100, standart sapması 15 olan bir ölçekte 130 değeri z = (130 − 100) / 15 = 2 verir; bu da değerin ortalamanın iki standart sapma üstünde yer aldığı anlamına gelir.
2 z-skoru hangi yüzdelik dilime karşılık gelir?
Yaklaşık %97,72'lik dilime. Standart normal dağılım, değerlerin yaklaşık %97,72'sini 2 z-skorunun altında ya da ona eşit konumlandırır; yani bu z-skoruna sahip bir değer, altta yatan veri yaklaşık normalse dağılımın kabaca %97,72'sinden yüksek ve yaklaşık %2,28'inden düşüktür.
Ortalamanın iki standart sapma üstünde olmak ne anlama gelir?
Değerin z-skorunun +2 olduğu anlamına gelir: değer, ortalamanın üstünde tipik bir gözlemden daha uzaktadır ve bu uzaklık dağılımın standart sapmasının iki katına eşittir. Yaklaşık normal verilerde dağılımın kabaca %97,72'si bu değerin altında ya da ona eşit kalır; bu da onu görece seyrek görülen bir sonuç yapar — ancak bunun istenir olup olmadığı tümüyle neyin ölçüldüğüne bağlıdır.
Z-skorları verinin normal dağılmasını gerektirir mi?
z = (x − μ) / σ hesabının kendisi her dağılım için tanımlıdır ve normallik gerektirmez. Ancak bir z-skorunu standart normal dağılımı kullanarak yüzdelik dilime çevirmek — yukarıdaki örneklerde olduğu gibi — yalnızca altta yatan veri yaklaşık normal (çan eğrisi biçiminde) olduğunda doğru sonuç verir; çarpık ya da kalın kuyruklu verilerde yüzdelik dilimler bunun yerine doğrudan verinin kendisinden okunmalıdır.
68-95-99,7 kuralı nedir?
Yaklaşık normal bir dağılımın ortalamadan bir, iki ve üç standart sapma uzaklıkta ne kadarının yer aldığını özetleyen kısa bir kuraldır: bir standart sapma içinde yaklaşık %68 (z, −1 ile +1 arasında), iki standart sapma içinde yaklaşık %95 (z, −2 ile +2 arasında) ve üç standart sapma içinde yaklaşık %99,7 (z, −3 ile +3 arasında). Tam bir yüzdelik dilim araması yapmadan bir değerin ne kadar sıra dışı olduğunu hızla değerlendirmeyi sağlar.
Kaynaklar
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).