Binom dağılımı sonucunuzu anlama
Aşağıdaki tablo, her hesaplama modunun nasıl tanımlandığını ve ne zaman uygun seçim olduğunu özetler.
| Mod | Yanıtlanan soru | Formül |
|---|---|---|
| Tam olarak k | Tam olarak k başarı olasılığı nedir? | P(X = k) |
| En fazla k | k veya daha az başarı olasılığı nedir? | P(X ≤ k) |
| En az k | k veya daha fazla başarı olasılığı nedir? | P(X ≥ k) |
- Yaygın olarak alıntılanan bir pratik kural (standart istatistik metinlerinde bulunur), n × p ve n × (1 − p) değerlerinin her ikisi de en az 5 olduğunda binom dağılımının bir normal dağılımla makul biçimde yaklaşıklanabileceğini belirtir; bir süreklilik düzeltmesi yaklaşımı daha da iyileştirir.
- Binom modeli, sabit bir başarı olasılığına sahip bağımsız denemeler gerektirir; küçük, sonlu bir popülasyondan yerine koymadan örnekleme bağımsızlığı ihlal eder ve bunun yerine hipergeometrik dağılımı gerektirir.
- k, 0 ile n arasında (her ikisi dahil) bir tam sayı olmalıdır; k'nin tam sayı olmayan veya aralık dışındaki değerleri geçerli binom sonuçları değildir.
- "En fazla k" ve "en az k + 1" tamamlayıcıdır ve toplamları %100'dür (eşdeğer olarak, "en fazla k − 1" ve "en az k" toplamları da %100'dür).
Binom dağılımı nedir?
Binom dağılımı, her biri aynı başarı olasılığına (p) sahip ve deneme başına yalnızca iki olası sonucu — başarı veya başarısızlık — bulunan sabit sayıda bağımsız denemedeki (n) başarı sayısını modeller. Klasik örnekler arasında, sabit sayıda yazı tura atışında yazı gelme sayısı veya başarı olasılığı denemeler arasında sabit kaldığı sürece bir üretim hattından alınan sabit bir örneklemdeki kusurlu ürün sayısı bulunur.
Dağılım kesiklidir: başarı sayısı k yalnızca 0'dan n'ye kadar tam sayı değerler alabilir. Şekli hem n'ye hem de p'ye bağlıdır — p = 0,5 olduğunda simetriktir ve p, 0'a veya 1'e yaklaştıkça giderek çarpıklaşır.
İki temel varsayım, bağımsızlık (bir denemenin sonucunun diğerini etkilememesi) ve tüm denemeler boyunca sabit bir başarı olasılığıdır. Denemeler küçük, sonlu bir popülasyondan yerine koymadan çekildiğinde bu varsayımlar ihlal edilebilir ve ilgili hipergeometrik dağılım daha uygun olur.
Bu binom dağılımı hesaplama aracı nasıl kullanılır
- Deneme sayısını, n'yi girin.
- Deneme başına başarı olasılığını, p'yi, yüzde olarak girin.
- Başarı sayısını, k'yi (0'dan n'ye kadar bir tam sayı) girin.
- Bir mod seçin: tam olarak k başarı, en fazla k başarı veya en az k başarı, ve sonuçtaki olasılığı, dağılımın beklenen değeri ve standart sapmasıyla birlikte okuyun.
Binom olasılığının arkasındaki formül
n denemede tam olarak k başarı olasılığı, binom olasılık kütle fonksiyonuyla verilir: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, burada C(n, k) = n! / (k!(n − k)!), n deneme arasından k başarı seçmenin yollarının sayısıdır.
"En fazla k", bu olasılığı 0'dan k'ye kadar her sonuç için toplar; "en az k" ise k'den n'ye kadar toplar (eşdeğer olarak, 1 eksi en fazla k − 1 olasılığı).
Dağılımın beklenen değeri (ortalama başarı sayısı) n × p'dir ve standart sapması √(n × p × (1 − p))'dir.
Çözülmüş örnek: n = 20 deneme, p = %50, tam olarak k = 8 başarı. P(X = 8) = C(20, 8) × 0,5⁸ × 0,5¹² ≈ %12,01. Beklenen değer 20 × 0,5 = 10'dur ve standart sapma √(20 × 0,5 × 0,5) = √5 ≈ 2,2361'dir.
Sık yapılan hatalar
- Bağımsız olmayan veya başarı olasılığının denemeler arasında değiştiği denemeler için binom dağılımını kullanmak — örneğin küçük bir popülasyondan yerine koymadan çekim yapmak.
- Modlar arasında birer birim kayma hataları — "en az 4", "en fazla 4"ün tamamlayıcısı değildir; "en fazla 4"ün tamamlayıcısı "en az 5"tir.
- Girdinin yüzde beklediği durumlarda başarı olasılığını bir yüzde (50) yerine bir ondalık (0,5) olarak girmek.
- Binom dağılımını sürekli bir sonuca veya deneme başına ikiden fazla olası sonucu olan bir sayıma uygulamak (bu, bunun yerine bir multinom model gerektirir).
- Binom dağılımının p'nin tüm n deneme boyunca sabit kaldığını varsaydığını unutmak — zamanla kayan bir olasılık modeli geçersiz kılar.
Sıkça Sorulan Sorular
Bir binom olasılığını nasıl hesaplarım?
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ kullanın, burada n deneme sayısı, p başarı olasılığı ve C(n, k), n deneme arasından k başarıyı düzenlemenin yollarının sayısıdır. "En fazla" veya "en az" için, bu formülü ilgili k değerleri aralığında toplayın.
Binom dağılımını kullanmak için hangi koşullar sağlanmalıdır?
Sabit sayıda deneme (n) olmalıdır, her denemenin yalnızca iki olası sonucu (başarı veya başarısızlık) olmalıdır, başarı olasılığı (p) denemeler arasında sabit kalmalıdır ve denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.
Beklenen başarı sayısı nedir?
Bir binom dağılımının beklenen değeri (ortalaması) n × p'dir. Örneğin, 20 deneme ve %50 başarı olasılığıyla, beklenen başarı sayısı 20 × 0,5 = 10'dur.
'Tam olarak', 'en fazla' ve 'en az' arasındaki fark nedir?
"Tam olarak k", kesinlikle k başarı olasılığıdır. "En fazla k", 0'dan k'ye kadar başarıların olasılıklarını toplar. "En az k", k'den n'ye kadar başarıların olasılıklarını toplar; bu, 1 eksi en fazla k − 1 başarı olasılığına eşittir.
Bir normal dağılım ne zaman bir binom dağılımına yaklaşıklayabilir?
Yaygın olarak kullanılan bir pratik kural, n × p ve n × (1 − p) değerlerinin her ikisinin de en az 5 olduğunda yaklaşımın makul olduğunu belirtir. Bu aralığın dışında, özellikle küçük n veya 0,5'ten uzak p için, kesin binom hesaplaması daha güvenilirdir.
Kaynaklar
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).