Güven aralığı gerçekte ne anlatır
Güven aralığı, örneklem verisinden hesaplanan ve yinelenen örneklemlerin belirli bir oranında — en yaygın olarak %95'inde — gerçek evren parametresini yakalaması beklenen bir yöntemle kurulan değer aralığıdır. %95'lik bir güven aralığı, gerçek evren değerinin hesaplanmış olan o tek aralığın içinde bulunma olasılığının %95 olduğu anlamına gelmez; gerçek değer verilen herhangi bir aralığın ya içindedir ya da değildir. Olasılık, hesaplandıktan sonra sabitlenmiş tek bir aralığa değil, yöntemin yinelenen örneklemeler boyunca uzun vadeli başarımına ilişkindir.
Hoekstra ve arkadaşları (2014), Psychonomic Bulletin and Review dergisinde yayımladıkları çalışmada bu ayrımın araştırmacılar ve istatistik öğrencileri dahil geniş bir kesimce yanlış anlaşıldığını belgeledi; katılımcıların çoğu %95'lik bir güven aralığını, gerçek değerin o belirli aralığa düşme olasılığını doğrudan anlatıyormuş gibi yorumladı. Teknik olarak doğru yorum, halihazırda gözlenmiş tek bir aralığa ilişkin bir olasılık ifadesi değil, aralığı kurmakta kullanılan yöntemin çok sayıda varsayımsal yinelenen örneklem boyunca güvenilirliğine ilişkin bir ifadedir.
Güven aralığının genişliğini ne belirler?
Bir güven aralığının genişliğini başlıca üç etken belirler: istenen güven düzeyi (yaygın olarak %90, %95 ya da %99), verinin değişkenliği (genellikle standart sapmayla, oranlarda ise kestirilen oran p ile ölçülür) ve örneklem büyüklüğü. Güven düzeyini yükseltmek aralığı genişletir, çünkü gerçek değeri yinelenen örneklemlerde daha güvenilir biçimde yakalamak daha geniş bir aralık gerektirir. Örneklem büyüklüğünü artırmak ise aralığı daraltır, çünkü büyük örneklemler evren değerine ilişkin daha duyarlı kestirimler sunar.
Bir oran için güven aralığındaki hata payı z × √[p(1−p)/n] biçiminde hesaplanır. Burada z, istenen güven düzeyine karşılık gelen z-skorudur (%95 güven için 1,96); p kestirilen orandır (gerçek oran bilinmediğinde 0,5 kullanılır, çünkü en büyük ve en ihtiyatlı hata payını üretir); n ise örneklem büyüklüğüdür. Örneklem büyüklüğü bu formülde karekök içinde yer aldığından, hata payını yarıya indirmek örneklemi ikiye değil kabaca dörde katlamayı gerektirir.
Örneklem büyüklüğü için Cochran formülü
İstatistikçi William Cochran'ın Sampling Techniques adlı yapıtında yayımladığı Cochran formülü, bir anket ya da çalışma için gereken en küçük örneklem büyüklüğünü kestirmenin bir yolunu sunar ve n0 = (z² × p(1−p)) / e² biçiminde hesaplanır. Burada z istenen güven düzeyine karşılık gelen z-skoru, p kestirilen oran (bilinmiyorsa 0,5) ve e ondalık olarak yazılan istenen hata payıdır. %95 güven düzeyi (z = 1,96), %5 hata payı (e = 0,05) ve en yüksek değişkenlik (p = 0,5) için formül n0 = (1,96² × 0,5 × 0,5) / 0,05² = 384,16 sonucunu verir; bu da yukarı yuvarlanarak 385 katılımcıya karşılık gelir.
Etkin olarak sonsuz bir evren yerine bilinen ve sonlu bir evrenden örneklem alınıyorsa Cochran formülü bir sonlu evren düzeltmesi içerir: n = n0 / (1 + (n0 − 1) / N). Burada N toplam evren büyüklüğüdür. Örneğin bu düzeltme 2.000 kişilik bir evrene uygulandığında gereken örneklem büyüklüğü 385'ten yaklaşık 323'e iner; çünkü daha küçük bir toplam evren, aynı hata payına ulaşmak için oransal olarak daha az katılımcı gerektirir.
Örneklem büyüklüğü, güven düzeyi ve hata payı: karşılaştırmalı örnek
Aşağıdaki tablo, büyük ya da sonsuz bir evren için p = 0,5 alınarak Cochran formülüyle hesaplanan gerekli örneklem büyüklüğünün, istenen güven düzeyi ve hata payı değiştikçe nasıl değiştiğini gösterir. Hem yüksek güven düzeyleri hem de küçük hata payları gereken örneklemi büyütür; hata payının etkisi özellikle belirgindir, çünkü formülün paydasında karesi alınmış olarak yer alır.
| Güven düzeyi | Hata payı | z-skoru | Gereken örneklem büyüklüğü (p = 0,5) |
|---|---|---|---|
| %90 | %5 | 1,645 | 271 |
| %95 | %5 | 1,96 | 385 |
| %95 | %3 | 1,96 | 1.068 |
| %99 | %5 | 2,576 | 664 |
“%95 güven” ifadesinin yaygın yanlış okumaları
Yukarıda anlatılan temel olasılık yanılgısının yanı sıra, güven aralıklarına ilişkin birkaç ilgili yanlış okuma araştırma raporlarında ve kamuya yönelik iletişimde sık görülür. Yaygın hatalardan biri, %95'lik bir güven aralığını örneklemdeki tek tek gözlemlerin %95'inin bu aralığa düştüğü anlamına gelecek biçimde yorumlamaktır; oysa güven aralığı ortalama ya da oran gibi bir evren parametresine ilişkin belirsizliği anlatır, tek tek gözlemlerin yayılımını değil. Bu yayılımı standart sapma ya da bir öngörü aralığı tarif eder.
Bir başka yaygın hata, kestirimin etki büyüklüğünü ya da pratik anlamlılığını hesaba katmadan, daha dar bir güven aralığının her zaman daha önemli veya daha güvenilir bir bulguya işaret ettiğini varsaymaktır; çok büyük bir örneklem, istatistiksel olarak duyarlı ama pratikte önemsiz bir etkinin çevresinde dar bir aralık üretebilir. Üçüncü bir yaygın hata ise örtüşen iki güven aralığına bakıp altlarındaki değerlerin anlamlı biçimde farklı olmadığını, ya da örtüşmeyen aralıkların anlamlı farkı kesinlikle doğruladığını varsaymaktır; iki kestirim arasındaki farkı biçimsel olarak sınamak genellikle aralık örtüşmesini gözle karşılaştırmak yerine ayrı bir istatistiksel sınav gerektirir.
Örneklem büyüklüğü seçiminde pratik yol gösterici ilkeler
Araştırmacılar ve anket tasarımcıları genellikle verinin besleyeceği karar için gereken duyarlılığa göre bir hedef güven düzeyi ve hata payı belirler, ardından veri toplamaya başlamadan önce Cochran formülü gibi bir yöntemle buna karşılık gelen en küçük örneklem büyüklüğünü hesaplar. %5 hata paylı %95 güven düzeyi, anket araştırmalarında ve kamuoyu yoklamalarında yaygın bir varsayılan seçimdir; makul ölçüde duyarlı bir kestirimi pratikte ulaşılabilir bir örneklem büyüklüğüyle dengeler.
Kestirilen oran (p) önceden bilinmiyorsa p = 0,5 kullanmak en ihtiyatlı, yani en büyük örneklem kestirimini verir; çünkü p(1−p) çarpımı p = 0,5'te en yüksek değerini alır. Önceki araştırmalardan ya da bir pilot çalışmadan p için daha özgül bir kestirim varsa, gerçek oranın %50'den belirgin biçimde uzak olduğu durumlarda bunu kullanmak gereken örneklemi küçültebilir. American Association for Public Opinion Research gibi kuruluşlar, yeni çalışma tasarlayan araştırmacılar için anket örneklem planlaması ve yöntem raporlaması konusunda ayrıntılı kılavuzlar yayımlar.
Sıkça Sorulan Sorular
%95'lik bir güven aralığı gerçekte ne anlama gelir?
%95'lik bir güven aralığı, aynı örnekleme ve hesaplama süreci defalarca yinelenseydi ortaya çıkan aralıkların yaklaşık %95'inin gerçek evren değerini içereceği anlamına gelir. Gerçek değerin, halihazırda hesaplanmış olan bu tek aralığa düşme olasılığının %95 olduğu anlamına gelmez. Hoekstra ve arkadaşlarının (2014) Psychonomic Bulletin and Review dergisinde yaygın bir yanlış anlama olarak belgelediği bu ayrım, güven aralıklarının hem araştırmada hem kamuya yönelik iletişimde en sık görülen yanlış okumalarından biridir.
%95 güven düzeyi için kaç kişiyle anket yapmalıyım?
Cochran formülü %95 güven düzeyi (z = 1,96), %5 hata payı ve en yüksek değişkenlikle (p = 0,5) kullanıldığında, büyük ya da etkin olarak sonsuz bir evren için gereken örneklem büyüklüğü yaklaşık 385 katılımcıdır. Daha küçük ve bilinen bir evrenden örneklem alınıyorsa sonlu evren düzeltmesi bu sayıyı düşürür; örneğin 2.000 kişilik bir evren, aynı güven düzeyi ve hata payına ulaşmak için yaklaşık 323 katılımcı gerektirir.
Örneklemi ikiye katlamak hata payını yarıya indirir mi?
Hayır. Örneklem büyüklüğü hata payı formülünde, yani z × √[p(1−p)/n] ifadesinde karekök içinde yer aldığından, hata payını yarıya indirmek örneklemi ikiye değil yaklaşık dörde katlamayı gerektirir. Bu azalan verim ilişkisi, bir çalışma zaten makul büyüklükte bir örnekleme sahipse duyarlılıkta görece küçük iyileşmeler için bile örneklemin çok büyük ölçüde artırılması gerektiği anlamına gelir.
Cochran formülü ne için kullanılır?
William Cochran'ın Sampling Techniques adlı yapıtından gelen Cochran formülü, bir evren oranı kestirilirken istenen güven düzeyi ve hata payına ulaşmak için gereken en küçük örneklem büyüklüğünü hesaplar. n0 = (z² × p(1−p)) / e² biçiminde hesaplanır ve veri toplamaya başlamadan önce kaç katılımcıya gerek duyulduğunu belirlemek üzere anket araştırmalarında, pazar araştırmalarında ve halk sağlığı çalışmalarında yaygın olarak kullanılır.
Dar bir güven aralığı sonucun daha önemli olduğu anlamına mı gelir?
Zorunlu olarak hayır. Dar bir güven aralığı, çoğunlukla büyük bir örneklemle elde edilen daha yüksek istatistiksel duyarlılığa işaret eder; oysa duyarlılık pratik anlamlılıkla aynı şey değildir. Çok büyük bir çalışma, pratikte anlam taşıyamayacak kadar küçük bir etkinin çevresinde dar ve istatistiksel olarak duyarlı bir aralık üretebilir; buna karşılık küçük bir çalışma, büyük ve pratikte önemli bir etkinin çevresinde daha geniş bir aralık verebilir. Bir güven aralığını yorumlamak, hem genişliğini hem de çevrelediği kestirimin büyüklüğünü birlikte değerlendirmeyi gerektirir.
Kaynaklar
- Cochran WG. Sampling Techniques. 3rd ed. Wiley, 1977.
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.
- Kalton G. Introduction to Survey Sampling. Sage Publications, 1983.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. 9th ed. W.H. Freeman, 2017.
- American Association for Public Opinion Research. "Best Practices for Survey Research." AAPOR.org.