Normal dağılım sonucunuzu anlama
Aşağıdaki tablo, standart normal dağılım tablolarıyla tutarlı biçimde, tam sayı z-puanlarında standart normal kümülatif olasılığı Φ(z)'yi listeler.
| Z-puanı | Φ(z) — z'nin altındaki kümülatif olasılık |
|---|---|
| −3 | %0,13 |
| −2 | %2,28 |
| −1 | %15,87 |
| 0 | %50,00 |
| +1 | %84,13 |
| +2 | %97,72 |
| +3 | %99,87 |
- Ampirik kural: normal bir dağılımın yaklaşık %68,27'si ortalamanın ±1 standart sapması içinde, yaklaşık %95,45'i ±2 standart sapması içinde ve yaklaşık %99,73'ü ±3 standart sapması içinde yer alır.
- "Arasında" modunda, üst sınır b, x'e eşit veya x'ten büyük olmalıdır; b, x'ten küçükse hesaplayıcı sonuç döndürmez.
- Normal dağılım sürekli olduğundan, herhangi bir tek kesin değerin olasılığı 0'dır — yalnızca aralıklar (altında, üstünde, arasında) sıfırdan farklı olasılığa sahiptir.
- Bu hesaplamalar, değişkenin gerçekten normal dağılımlı olduğunu varsayar. Çarpık, sınırlı veya ağır kuyruklu veriler, bir z-puanı hesaplanabilse bile bu olasılıklardan önemli ölçüde sapabilir.
Normal dağılım nedir?
Normal dağılım (Gauss dağılımı), tamamen iki parametreyle tanımlanan sürekli, simetrik, çan eğrisi biçimli bir olasılık dağılımıdır: merkezini belirleyen ortalaması (μ) ve yayılımını belirleyen standart sapması (σ). Boy uzunlukları, ölçüm hataları, standartlaştırılmış sınav puanları gibi birçok doğal ve ölçülen nicelik yaklaşık olarak normaldir; bu yüzden dağılım, istatistik teorisi ve uygulamasının merkezinde yer alır.
Sürekli bir dağılım, tek noktalara değil aralıklara olasılık atadığından, bu hesaplayıcı 'değerlerin ne kadarı x'in altında kalır', 'x'in üstünde' veya 'x ile b arasında' türünden soruları yanıtlar — sürekli bir dağılım için her zaman 0 olan 'tam olarak x'in olasılığı nedir' sorusunu asla yanıtlamaz.
Her normal dağılım, bir z-puanı hesaplanarak standart normal dağılıma (ortalama 0, standart sapma 1) dönüştürülebilir: z = (x − μ) / σ. Bir x-değeri aralığıyla ilişkili olasılık, ardından sıklıkla Φ(z) olarak yazılan standart normal kümülatif dağılım fonksiyonundan (CDF) okunur; bu fonksiyon dağılımın z'de veya altında kalan oranını verir.
Ampirik kural (68-95-99,7 kuralı olarak da adlandırılır), standart normal dağılımın yayılımını özetler: değerlerin yaklaşık %68,27'si ortalamanın 1 standart sapması içinde, yaklaşık %95,45'i 2 standart sapması içinde ve yaklaşık %99,73'ü 3 standart sapması içinde yer alır.
Bu normal dağılım hesaplama aracı nasıl kullanılır
- Dağılımın ortalamasını (μ) ve standart sapmasını (σ) girin. Standart sapma sıfırdan büyük olmalıdır.
- Bir hesaplama modu seçin: bir değerin altında, bir değerin üstünde veya iki değer arasında.
- x değerini girin. "Arasında" modunda, x'e eşit veya x'ten büyük olması gereken üst sınır b'yi de girin.
- Olasılığı (yüzde olarak ve 0 ile 1 arasında bir oran olarak) x'e karşılık gelen z-puanıyla birlikte okuyun.
Normal dağılım olasılığının arkasındaki formül
Her hesaplama, x'i bir z-puanına standartlaştırarak başlar: z = (x − μ) / σ. Olasılık, ardından basit bir kapalı form ifadesi bulunmayan ve sayısal olarak değerlendirilen standart normal CDF, Φ(z)'den okunur.
Altında modu: P(X < x) = Φ(z). Üstünde modu: P(X > x) = 1 − Φ(z). Arasında modu: P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ), burada zᵦ üst sınır b'nin z-puanıdır.
Çözülmüş örnek (altında modu): ortalama = 100, standart sapma = 15, x = 120. z = (120 − 100) / 15 = 1,3333. Standart normal dağılımda Φ(1,3333) değerine bakıldığında yaklaşık 0,9088 elde edilir, dolayısıyla P(X < 120) ≈ %90,88.
Çözülmüş örnek (arasında modu, standart normal): ortalama = 0, standart sapma = 1, −1 ile +1 arasında. z alt = −1, z üst = +1. Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, dolayısıyla P(−1 < X < 1) ≈ %68,27 — ampirik kuralın ilk adımı.
Sık yapılan hatalar
- Yanlış modu seçmek — "altında", "üstünde" ve "arasında" aynı x için farklı olasılıklar verir ve bunları karıştırmak sık görülen bir hata kaynağıdır.
- "Arasında" modunda x'ten küçük bir üst sınır b girmek — bu, hesaplayıcı için geçerli bir aralık değildir.
- Tek bir kesin değerin olasılığını anlamlı saymak — normal gibi sürekli bir dağılım için P(X = x) her zaman 0'dır.
- Kontrol etmeden bir veri kümesinin normal olduğunu varsaymak — burada döndürülen olasılıklar yalnızca altta yatan değişken yaklaşık olarak normal dağılımlıyken doğrudur.
- Standart sapmayı varyansla karıştırmak — bu hesaplayıcı, karesini değil standart sapmayı (σ) ister.
Sıkça Sorulan Sorular
Normal dağılım olasılığını nasıl hesaplarım?
Değeri z = (x − ortalama) / standart sapma kullanarak bir z-puanına dönüştürün, ardından standart normal dağılımda karşılık gelen kümülatif olasılığa bakın. x'in altında bir değer için doğrudan Φ(z) kullanın; x'in üstünde için 1 − Φ(z) kullanın; x ile b arasında bir aralık için iki kümülatif olasılığı birbirinden çıkarın.
Ampirik kural nedir?
Ampirik kural (68-95-99,7 kuralı), normal bir dağılım için değerlerin yaklaşık %68,27'sinin ortalamanın 1 standart sapması içinde, yaklaşık %95,45'inin 2 standart sapması içinde ve yaklaşık %99,73'ünün 3 standart sapması içinde yer aldığını belirtir.
Z-puanı nedir?
Z-puanı, z = (x − ortalama) / standart sapma olarak hesaplanan, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu ifade eder. Bu hesaplayıcının standart normal dağılımda bir olasılığa bakmak için kullandığı ara adımdır.
Kesin bir değerin olasılığı neden her zaman 0'dır?
Normal dağılım süreklidir, dolayısıyla olasılık yalnızca aralıklar üzerinde tanımlıdır, tek noktalarda değil. Tam olarak P(X = 120) sormak matematiksel olarak 0'dır; anlamlı sorular P(X < 120), P(X > 120) veya P(a < X < b)'dir.
Bu hesaplayıcı herhangi bir veri kümesi için çalışır mı?
Yalnızca altta yatan değişken yaklaşık olarak normal dağılımlıysa. Birçok gerçek değişken yaklaşık olarak normaldir, ancak çarpık, sınırlı (sayımlar veya oranlar gibi) veya ağır kuyruklu veriler, bu çerçeveye zorlandığında yanıltıcı olasılıklar verebilir.
"Altında" ve "arasında" modları arasındaki fark nedir?
"Altında" tek bir x değerine kadar kümülatif olasılığı bildirir, P(X < x). "Arasında" bir aralığa düşme olasılığını bildirir, P(x < X < b); bu, iki kümülatif olasılık arasındaki farktır ve hem bir alt değer x hem de bir üst sınır b gerektirir.
Kaynaklar
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).