Korelasyon sonucunuzu anlamak
Aşağıdaki tablo, |r|'nin gücünü yorumlamak için yaygın olarak kullanılan betimsel bir ölçeği gösterir. Bu bantlar bir kural niteliğindedir, istatistiksel bir test değildir ve farklı alanlar bazen farklı eşikler kullanır.
| |r| aralığı | Doğrusal ilişkinin gücü |
|---|---|
| 0,00 – 0,19 | Çok zayıf |
| 0,20 – 0,39 | Zayıf |
| 0,40 – 0,59 | Orta |
| 0,60 – 0,79 | Güçlü |
| 0,80 – 1,00 | Çok güçlü |
- Pearson r'si özellikle doğrusal ilişkiyi ölçer. İki değişken, güçlü, açıkça örüntülü doğrusal olmayan bir ilişkiye (örneğin, U şeklinde bir eğri) sahip olabilirken yine de 0'a yakın bir r üretebilir, çünkü r eğriliği tespit edemez.
- Korelasyon nedensellik anlamına gelmez: yüksek bir korelasyon, bir değişkenin diğerine neden olmasından, her ikisini de etkileyen üçüncü bir karıştırıcı değişkenden, ters nedensellikten veya verideki bir tesadüften kaynaklanabilir.
- r, karesi alınmış sapmalardan hesaplandığı için aykırı değerlere karşı hassastır — tek bir aşırı veri noktası korelasyon katsayısını önemli ölçüde şişirebilir veya düşürebilir.
- Pearson r'si, temel ilişkinin yaklaşık olarak doğrusal olduğunu ve verilerin bir aralık veya oran ölçeğinde ölçüldüğünü varsayar; monoton ancak doğrusal olmayan ilişkiler için, Spearman korelasyonu gibi sıra tabanlı bir ölçüt genellikle daha uygundur.
Pearson korelasyon katsayısı nedir?
Pearson korelasyon katsayısı (r), iki eşleştirilmiş sayısal değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü ölçer. −1 ile +1 arasında değişir: +1'e yakın değerler güçlü bir pozitif doğrusal ilişkiyi (x arttıkça y de artma eğilimindedir), −1'e yakın değerler güçlü bir negatif doğrusal ilişkiyi (x arttıkça y azalma eğilimindedir) ve 0'a yakın değerler çok az veya hiç doğrusal ilişki olmadığını gösterir.
Bu hesaplayıcı ayrıca r²'ye eşit olan ve y'deki varyansın x ile doğrusal bir ilişki tarafından istatistiksel olarak ne kadarının açıklandığını temsil eden belirlilik katsayısı R²'yi de bildirir. Ayrıca, doğru ile veri noktaları arasındaki karesi alınmış dikey mesafelerin toplamını en aza indiren düz çizgi olan en küçük kareler regresyon doğrusunu da uydurur.
İki değişken arasındaki güçlü bir korelasyon, birinin diğerine neden olduğunu kanıtlamaz. Korelasyon yalnızca istatistiksel bir ilişkidir; nedensellik kurmak, karıştırıcı değişkenleri ve ters nedenselliği dışlayan kontrollü bir deney veya iyi tasarlanmış bir çalışma gibi ek kanıtlar gerektirir.
Bu korelasyon hesaplama aracı nasıl kullanılır
- X değerlerini noktalı virgülle ayrılmış bir liste olarak girin, örneğin 1; 2; 3; 4.
- Karşılık gelen Y değerlerini, X değerleriyle aynı sırada ve aynı uzunlukta, noktalı virgülle ayrılmış bir liste olarak girin, örneğin 2; 4; 6; 8.
- En az 3 eşleştirilmiş veri noktası sağlayın — korelasyon katsayısı daha azıyla anlamlı değildir.
- Korelasyon katsayısını (r), R²'yi, regresyon doğrusunun eğimini ve kesme noktasını ve regresyon doğrusu denkleminin kendisini okuyun.
Pearson korelasyonu ve doğrusal regresyonun arkasındaki formül
Pearson r'si, her değişkenin kendi ortalamasından sapmasının çarpımlarının toplamının, toplanan karesi alınmış sapmaların çarpımının kareköküne bölünmesidir: r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √[Σ(xᵢ − x̄)² × Σ(yᵢ − ȳ)²].
En küçük kareler regresyon doğrusu, ŷ = eğim × x + kesme noktası, eğim = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² ve kesme noktası = ȳ − eğim × x̄ kullanır; doğru ile her veri noktası arasındaki karesi alınmış dikey mesafelerin toplamını en aza indirecek şekilde seçilir.
Çözülmüş örnek: x = 1; 2; 3; 4 ve y = 2; 4; 6; 8 — eğimi 2 olan, orijinden geçen mükemmel bir düz çizgi. Bu, r = 1 (mükemmel pozitif doğrusal korelasyon), R² = 1, eğim = 2, kesme noktası = 0 ve regresyon doğrusu ŷ = 2x verir.
Sık yapılan hatalar
- Korelasyonu nedensellik olarak yorumlamak — iki değişken arasındaki güçlü bir korelasyon, birinin diğerine neden olduğunu kanıtlamaz; üçüncü bir karıştırıcı değişken, ters nedensellik veya tesadüf aynı istatistiksel örüntüyü üretebilir.
- Pearson r'sinin iki değişken arasındaki her türlü ilişkiyi yakaladığını varsaymak, oysa yalnızca doğrusal ilişkiyi ölçer — güçlü, eğrisel (doğrusal olmayan) bir ilişki 0'a yakın bir r üretebilir.
- Aykırı değerlerin etkisini göz ardı etmek; hesaplama karesi alınmış sapmalara dayandığından bunlar r'yi önemli ölçüde şişirebilir veya düşürebilir.
- r'yi regresyon eğimiyle karıştırmak — r, −1 ile +1 arasında birimsiz bir doğrusal ilişki gücü ve yönü ölçütüdür, eğim ise y'nin x birimi başına birimlerini taşır ve verinin ölçeğine bağlıdır.
- Regresyon doğrusunu gözlenen x değerlerinin aralığının ötesine ekstrapolasyon yapmak; verilerden tahmin edilen doğrusal ilişki artık geçerli olmayabilir.
Sıkça Sorulan Sorular
Korelasyon katsayısının 1 olması ne anlama gelir?
r = 1 olan bir Pearson korelasyon katsayısı, iki değişkenin mükemmel bir pozitif doğrusal ilişkiye sahip olduğu anlamına gelir: her veri noktası tam olarak pozitif eğimli bir düz çizgi üzerine düşer ve x arttıkça y orantılı olarak artar.
Korelasyon nedensellik anlamına mı gelir?
Hayır. Korelasyon, iki değişken arasındaki istatistiksel bir ilişkiyi ölçer, neden-sonuç ilişkisini değil. Yüksek bir korelasyon, bir değişkenin diğerine neden olmasından, her ikisini de etkileyen üçüncü bir karıştırıcı faktörden, ters nedensellikten veya yalnızca tesadüften kaynaklanabilir — nedensellik kurmak korelasyonun ötesinde ek kanıt gerektirir.
R² (belirlilik katsayısı) nedir?
R², Pearson korelasyon katsayısının karesine (r²) eşittir ve y değişkenindeki varyansın, x ile doğrusal ilişkisi tarafından istatistiksel olarak ne kadarının açıklandığını temsil eder. 0,81'lik bir R² (r = 0,9'dan), y'deki varyansın %81'inin x ile doğrusal ilişkiyle bağlantılı olduğu anlamına gelir.
İki değişken güçlü biçimde ilişkili olabilir ama düşük bir korelasyon katsayısına sahip olabilir mi?
Evet. Pearson r'si yalnızca doğrusal ilişkileri ölçer. İki değişken, U şekli veya üstel eğri gibi eğrisel (doğrusal olmayan) bir örüntü aracılığıyla güçlü, öngörülebilir biçimde ilişkili olabilir ve yine de 0'a yakın bir r üretebilir, çünkü r bu tür bir ilişkiyi yakalayamaz.
Regresyon doğrusu nasıl hesaplanır?
En küçük kareler regresyon doğrusu, doğru ile her veri noktası arasındaki karesi alınmış dikey mesafelerin toplamını en aza indirir. Eğimi Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²'ye eşittir ve kesme noktası, y'nin ortalamasından eğim çarpı x'in ortalamasının çıkarılmasına eşittir.
Anlamlı bir korelasyon için kaç veri noktasına ihtiyacım var?
Bu hesaplayıcı bir sonuç hesaplamak için en az 3 eşleştirilmiş veri noktası gerektirir, ancak çok küçük örneklemlerden elde edilen korelasyon katsayıları tek tek veri noktalarına karşı son derece hassastır ve yanıltıcı olabilir; daha büyük örneklemler, gerçek temel ilişkinin daha kararlı ve güvenilir tahminlerini verir.
Kaynaklar
- Pearson K. Note on regression and inheritance in the case of two parents. Proceedings of the Royal Society of London 1895; 58: 240-242.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — correlation and linear regression. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (correlation, least-squares regression).
- Evans JD. Straightforward Statistics for the Behavioral Sciences. Brooks/Cole, 1996 (descriptive strength bands for |r|).
- Chatterjee S, Hadi AS. Regression Analysis by Example. Wiley (least-squares regression and its assumptions).