Z-puanınızı anlamak
Aşağıdaki tablo, seçilmiş z-puanlarını ve bunların standart normal yüzdelik dilimlerini gösterir.
| Z-puanı | Yüzdelik dilim (altındaki pay) | Yorum |
|---|---|---|
| -2 | %2,28 | Ortalamanın iki standart sapma altında; olağandışı düşük |
| -1 | %15,87 | Ortalamanın bir standart sapma altında |
| 0 | %50 | Tam olarak ortalamada (normal dağılım için medyanda da) |
| +1 | %84,13 | Ortalamanın bir standart sapma üzerinde |
| +2 | %97,72 | Ortalamanın iki standart sapma üzerinde; olağandışı yüksek |
| +3 | %99,87 | Ortalamanın üç standart sapma üzerinde; normallik altında nadir |
- Yüzdelik dilimler, altta yatan dağılımın yaklaşık olarak normal olduğunu varsayar. Çarpık veya ağır kuyruklu veriler için, z-puanının kendisi iyi tanımlanmış olsa bile z'den yüzdelik dilime dönüşüm güvenilir değildir.
- Ampirik kurala göre, normal bir dağılımın yaklaşık %68'i z = -1 ile +1 arasında, yaklaşık %95'i -2 ile +2 arasında ve yaklaşık %99,7'si -3 ile +3 arasında yer alır.
- Bir z-puanı, bir değerin iyi mi kötü mü olduğu hakkında hiçbir şey söylemez — yalnızca kendi dağılımının ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu gösterir.
Z-puanı nedir?
Bir z-puanı, bir değerin ortalamaya olan uzaklığını standart sapma birimleriyle ifade ederek standartlaştırır. 0 z-puanı, değerin ortalamaya eşit olduğu anlamına gelir; +1, ortalamanın bir standart sapma üzerinde olduğu; -2 ise ortalamanın iki standart sapma altında olduğu anlamına gelir. Standartlaştırma, farklı ölçeklerdeki ölçümleri ortak bir zemine taşır; bu nedenle z-puanları, farklı dağılımlar arasında sınav sonuçlarını, büyüme ölçümlerini ve laboratuvar değerlerini karşılaştırmak için kullanılır.
Altta yatan dağılım normal (çan eğrisi biçimli) olduğunda, z-puanı standart normal kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF) aracılığıyla doğrudan bir yüzdelik dilime karşılık gelir. CDF, dağılımın verilen bir z değerinin altında kalan oranını verir — örneğin, normal bir dağılımın yaklaşık %84,13'ü z = 1'in altında, yaklaşık %97,72'si ise z = 2'nin altında kalır. Bu hesaplayıcı, standart normal CDF'yi Abramowitz ve Stegun yaklaşımıyla (formül 7.1.26) değerlendirir; bu yaklaşık 7,5 x 10^-8 içinde doğrudur.
Yüzdelik dilim yorumu normalliğe bağlıdır. Z-puanları herhangi bir veri için hesaplanabilir, ancak bunları normal CDF ile yüzdelik dilimlere dönüştürmek yalnızca dağılım yaklaşık olarak normal olduğunda doğrudur; çarpık veya ağır kuyruklu veriler için belirtilen yüzdelik dilimler yanıltıcı olabilir.
Bu z-puanı hesaplama aracı nasıl kullanılır
- Standartlaştırmak istediğiniz değeri (x) girin — örneğin, bireysel bir sınav puanı.
- Değerin geldiği dağılımın ortalamasını girin.
- Dağılımın standart sapmasını girin; bu değer sıfırdan büyük olmalıdır.
- Z-puanını, yüzdelik dilimi (normallik varsayımıyla değerin altındaki dağılım payı) ve üstündeki payı okuyun.
Z-puanı formülü
Z-puanı, değerden ortalamanın çıkarılıp standart sapmaya bölünmesiyle elde edilir: z = (x - ortalama) / standart sapma. Pozitif bir z, değerin ortalamanın üzerinde olduğu; negatif bir z ise altında olduğu anlamına gelir.
Çözülmüş örnek: x = 130, ortalama = 100, standart sapma = 15 (klasik IQ ölçeği). z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Değer, ortalamanın tam olarak iki standart sapma üzerindedir. Standart normal CDF'ye göre, z = 2'nin altındaki oran 0,9772'dir, dolayısıyla değer yaklaşık 97,72 yüzdelik dilimde yer alır ve dağılımın yaklaşık %2,28'i bunun üzerindedir.
Yüzdelik dilimler, standart normal kümülatif dağılım fonksiyonundan elde edilir: yüzdelik dilim = CDF(z) x 100, üstündeki pay = (1 - CDF(z)) x 100. CDF'nin kapalı biçimli bir ifadesi yoktur; bu hesaplayıcı Abramowitz ve Stegun (1964) yaklaşımı 7.1.26'yı kullanır.
Sık yapılan hatalar
- Açıkça normal olmayan veriler için z-puanlarını yüzdelik dilimlere dönüştürmek — normal CDF eşlemesi çan eğrisi biçimli bir dağılım varsayar.
- Yönü karıştırmak: negatif bir z-puanı, değerin ortalamanın altında olduğu anlamına gelir, bir hata veya imkansız bir sonuç değildir.
- Standart sapma yerine varyansa bölmek — z formülünün paydası standart sapmadır.
- Bir grubun popülasyon ortalamasını ve standart sapmasını, farklı bir gruptan bir değeri standartlaştırmak için kullanmak; bu anlamsız bir karşılaştırma üretir.
- Yüzdelik dilimi yüzde puanıyla karıştırmak: 97,7 yüzdelik dilimde olmak, sınavda %97,7 almak değil, dağılımın yaklaşık %97,7'sinin üzerinde puan almak anlamına gelir.
Sıkça Sorulan Sorular
Z-puanı nasıl hesaplanır?
Değerden ortalamayı çıkarın, ardından standart sapmaya bölün: z = (x - ortalama) / standart sapma. Örneğin, ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan bir ölçekte 130 puan, z = (130 - 100) / 15 = 2 verir; bu, puanın ortalamanın iki standart sapma üzerinde olduğu anlamına gelir.
Z-puanı 2 hangi yüzdelik dilime karşılık gelir?
Yaklaşık 97,72 yüzdelik dilime. z = 2'de değerlendirilen standart normal kümülatif dağılım fonksiyonu 0,9772'dir; bu, normal bir dağılımın %97,72'sinin bu değerin altında ve %2,28'inin üzerinde olduğu anlamına gelir.
İyi bir z-puanı nedir?
Z-puanları not değil, tarafsız ölçümlerdir — belirli bir z değerinin istenir olup olmadığı tamamen bağlama bağlıdır. +2'lik bir z, bir sınav puanı için mükemmeldir ama tansiyon için endişe vericidir. -2 veya +2'nin ötesindeki değerler geleneksel olarak olağandışı kabul edilir, çünkü normal bir dağılımın %5'ten azı bu aralığın dışında kalır.
Bir z-puanı negatif olabilir mi?
Evet. Negatif bir z-puanı, yalnızca değerin ortalamanın altında olduğu anlamına gelir. Örneğin, z = -1,5, ortalamanın bir buçuk standart sapma altındaki bir değeri gösterir ve normal bir dağılımın yaklaşık 6,68 yüzdelik diliminde yer alır.
Z-puanları normal dağılım gerektirir mi?
Z-puanının kendisi — ortalamadan standart sapma birimleriyle uzaklık — herhangi bir dağılım için tanımlıdır. Ancak bu hesaplayıcının yaptığı gibi, standart normal CDF kullanarak bir z-puanını yüzdelik dilime dönüştürmek, yalnızca dağılım yaklaşık olarak normal olduğunda doğrudur. Çarpık veriler için yüzdelik dilimler doğrudan veriden hesaplanmalıdır.
Gösterilen yüzdelik dilim ne kadar doğrudur?
Standart normal CDF'nin tam kapalı biçimli bir ifadesi yoktur, bu nedenle bu hesaplayıcı, mutlak hatası 7,5 x 10^-8'in altında olan Abramowitz ve Stegun (1964) rasyonel yaklaşımı 7.1.26'yı kullanır — bu, gösterilen iki ondalık basamaktan çok daha kesindir.
Kaynaklar
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).