Güven aralığı nedir?
Güven aralığı, bilinmeyen bir evren parametresi için — çoğunlukla bir evren ortalaması ya da oranı için — bir veri örnekleminden hesaplanan olası değerler aralığıdır. Örneklem ortalaması gibi bir nokta tahmini çevresinde kurulur ve her iki yöne doğru bir hata payı kadar uzanır; böylece aynı örnekleme ve hesaplama yordamı çok kez yinelenseydi, aralığın bütün olarak gerçek ama bilinmeyen evren değerini belirtilen oranda yakalaması amaçlanır.
Güven düzeyi denen bu seçilmiş yüzde en yaygın olarak %90, %95 ya da %99'dur. Daha geniş bir aralık, gerçek değeri yakaladığına dair daha çok güven verir; ancak bunu kesinlikten ödün vererek yapar. Daha dar bir aralık ise daha kesindir, buna karşılık ya daha düşük bir güven düzeyiyle gelir ya da aynı güven düzeyini korumak için daha büyük bir örneklem gerektirir. Kesinlik ile güven arasındaki bu ödünleşim kaçınılmazdır ve bildirilen herhangi bir aralığı doğru yorumlamanın merkezinde yer alır.
%95 güvenin yaygın yanlış yorumu
Bir %95 güven aralığını, gerçek evren değerinin zaten hesaplanmış olan o tek belirli aralığın içinde bulunma olasılığının %95 olduğu biçiminde okumak yaygın ve iyi belgelenmiş bir yanlış yorumdur. Bu okuma teknik olarak doğru değildir: belirli bir örneklemden belirli bir aralık bir kez hesaplandığında, gerçek evren değeri ya o aralığın içindedir ya da değildir — o tek aralık için olasılık atanacak bir rastlantısallık artık kalmamıştır. Buradaki %95, aralığı kurmak için kullanılan yöntemin çok sayıda varsayımsal tekrarlı örneklemdeki uzun dönemli başarı oranını anlatır; iş işten geçtikten sonra herhangi bir tek aralık hakkında verilen bir olasılık ifadesi değildir.
Hoekstra ve arkadaşları (2014), Psychonomic Bulletin and Review dergisinde yayımladıkları çalışmada bu ayrımın araştırmacılar ve istatistik öğrencileri de dâhil olmak üzere geniş ölçüde yanlış anlaşıldığını belgelemiştir; katılımcıların çoğu %95 güven aralığını, gerçek değerin o belirli aralığa düşme olasılığını doğrudan anlatıyormuş gibi yorumlamıştır. Teknik olarak doğru yorum, yöntemin tekrarlı örneklemedeki güvenilirliğine ilişkindir; zaten gözlenmiş tek bir sonuç hakkında verilen bir olasılık ifadesine değil.
Hata payı: güven aralığının yapı taşı
Hata payı, güven aralığının nokta tahmininin her iki yanında uzandığı mesafedir ve bir kritik değerin (normal dağılıma dayalı aralıklarda z) tahminin standart hatasıyla çarpımı olarak hesaplanır. Bir ortalama için standart hata, standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölümüdür: standart hata = standart sapma / √n. Daha büyük bir örneklem, standart hatayı ve dolayısıyla hata payı ile aralığın genel genişliğini n'in kareköküyle orantılı biçimde küçültür.
z kritik değeri seçilen güven düzeyine bağlıdır: %90 güven için 1,6449, %95 güven için 1,96 ve %99 güven için 2,5758. Bunların her biri, standart normal dağılımda iki kuyrukta karşılık gelen toplam olasılığı bırakan noktayı temsil eder. Daha yüksek bir güven düzeyi daha büyük bir kritik değer gerektirir; bu da diğer koşullar sabitken hata payını ve dolayısıyla ortaya çıkan aralığı genişletir.
Çözümlü örnek: bir ortalama için %95 güven aralığı kurmak
n = 100 gözlemlik bir örneklemin ortalamasının 50, standart sapmasının 8 olduğunu ve evren ortalaması için %95 güven aralığının istendiğini varsayalım. 1. adım: standart hatayı hesaplayın, 8 / √100 = 8 / 10 = 0,8. 2. adım: %95 kritik değerini kullanarak hata payını hesaplayın, 1,96 × 0,8 = 1,568. 3. adım: hata payını örneklem ortalamasına ekleyip ondan çıkarın: 50 − 1,568 = 48,432 ve 50 + 1,568 = 51,568.
Ortaya çıkan %95 güven aralığı 48,432 ile 51,568 arasıdır. Doğru yorum şudur: aynı örnekleme ve hesaplama yordamı aynı evrenden alınan 100 birimlik yeni örneklemler üzerinde çok kez yinelenseydi, bu biçimde kurulan aralıkların yaklaşık %95'i gerçek evren ortalamasını içerirdi — bu tek örnekte gerçek ortalamanın özellikle 48,432 ile 51,568 arasında bulunma olasılığının %95 olduğu değil.
Güven düzeyi ve örneklem büyüklüğü aralığı nasıl değiştirir?
Örneklem sabit tutulduğunda (ortalama 50, standart sapma 8, n = 100), aşağıdaki tablo aynı verinin yalnızca seçilen güven düzeyine bağlı olarak nasıl farklı aralık genişlikleri ürettiğini gösterir. Daha yüksek güven aralığı her zaman genişletir; çünkü daha güvenilir bir yöntem — yani tekrarlı örneklemede daha sık başarılı olan bir yöntem — yapısı gereği daha geniş bir olası değerler kümesini kapsamak zorundadır.
| Güven düzeyi | z kritik değeri | Hata payı | Ortaya çıkan aralık |
|---|---|---|---|
| %90 | 1,6449 | 1,316 | 48,684 – 51,316 |
| %95 | 1,96 | 1,568 | 48,432 – 51,568 |
| %99 | 2,5758 | 2,061 | 47,939 – 52,061 |
Sıkça Sorulan Sorular
%95 güven aralığı gerçekte ne anlama gelir?
Aynı örnekleme ve hesaplama yordamı çok kez yinelenseydi, ortaya çıkan aralıkların yaklaşık %95'inin gerçek evren değerini içereceği anlamına gelir. Gerçek değerin zaten hesaplanmış olan bu tek belirli aralığa düşme olasılığının %95 olduğu anlamına gelmez — Hoekstra ve arkadaşlarının (2014) Psychonomic Bulletin and Review dergisinde yaygın bir yanlış anlama olarak belgelediği ayrım tam olarak budur.
Bir ortalama için %95 güven aralığı nasıl hesaplanır?
Standart hatayı hesaplayın (standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölümü), bunu %95 kritik değeri olan 1,96 ile çarparak hata payını bulun, ardından bu payı örneklem ortalamasına ekleyip ondan çıkarın. Ortalaması 50, standart sapması 8 ve n = 100 olan bir örneklemde standart hata 0,8, hata payı 1,568 ve aralık 48,432 ile 51,568 olur.
Hata payı nedir?
Hata payı, bir güven aralığı oluşturmak üzere örneklem ortalaması gibi bir nokta tahminine eklenen ve ondan çıkarılan tutardır. Seçilen güven düzeyine bağlı olan bir kritik değerin, tahminin standart hatasıyla çarpımı olarak hesaplanır. Daha büyük bir hata payı daha geniş ve daha az kesin bir aralık üretirken daha küçük bir hata payı daha dar ve daha kesin bir aralık verir.
Gerçek değerin bu aralıkta olma olasılığı %95'tir demek neden yanlıştır?
Çünkü belirli bir örneklemden belirli bir aralık bir kez hesaplandığında, gerçek evren değeri ya onun içindedir ya da değildir — olasılık atanacak bir rastlantısallık artık kalmamıştır. %95, aralığı kurmak için kullanılan yöntemin bir özelliğidir ve yöntemin çok sayıda varsayımsal tekrarlı örneklemde ne sıklıkta başarılı olduğunu anlatır; zaten hesaplanmış tek bir aralık hakkında verilen bir olasılık ifadesi değildir.
Daha büyük bir örneklem güven aralığını daraltır mı?
Evet. Standart hata ve dolayısıyla hata payı ile aralığın genel genişliği, standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesiyle hesaplanır. Örneklem büyüklüğü karekök altında yer aldığından, örneklemi dört katına çıkarmak aralığın genişliğini yarıya indirir; buna karşılık daha küçük bir örneklem, aynı güven düzeyinde oransal olarak daha geniş ve daha az kesin bir aralık üretir.
Daha yüksek bir güven düzeyi neden daha geniş bir aralık üretir?
%95 yerine %99 gibi daha yüksek bir güven düzeyi daha büyük bir kritik değer gerektirir (1,96 yerine 2,5758); bu da hata payını büyütür ve ortaya çıkan aralığı genişletir. Bu durum kaçınılmaz bir ödünleşimi yansıtır: tekrarlı örneklemede daha sık başarılı olması gereken bir yöntem, bunu başarabilmek için daha geniş bir olası değerler kümesini kapsamak zorundadır.
Kaynaklar
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Hoekstra R, Morey RD, Rouder JN, Wagenmakers EJ. "Robust misinterpretation of confidence intervals." Psychonomic Bulletin and Review, 2014;21(5):1157-1164.