Dört sonucu anlama
Aşağıdaki tablo, bağımsızlık varsayılarak P(A) = %50, P(B) = %30 örneği için her bir çıktıyı gösterir.
| Sonuç | Formül | Örnek değer |
|---|---|---|
| Hem A hem B | P(A) x P(B) | 0,5 x 0,3 = %15 |
| En az biri (A veya B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0,5 + 0,3 - 0,15 = %65 |
| A gerçekleşmez | 1 - P(A) | 1 - 0,5 = %50 |
| Hiçbiri gerçekleşmez | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0,5 x 0,7 = %35 |
- Tüm sonuçlar A ve B'nin bağımsız olduğunu varsayar. Olaylar birbirini etkiliyorsa (bağımlı olaylar), bu formüller geçerli değildir ve koşullu olasılıklar gereklidir.
- 'En az biri gerçekleşir' ve 'hiçbiri gerçekleşmez' tümleyendir: olasılıkları her zaman %100'e toplanır.
- Olasılıklar, birçok tekrar üzerindeki uzun vadeli sıklıkları tanımlar; %15'lik bir şans, olayın sonraki 100 denemeden tam olarak 15'inde gerçekleşeceği anlamına gelmez.
Birleşik olayların olasılığı nedir?
Bir olasılık, bir olayın ne kadar muhtemel olduğunu ifade eden 0 ile 1 arasında (veya %0 ile %100 arasında) bir sayıdır: 0 imkansız, 1 kesin anlamına gelir. İki olay birlikte ele alındığında, standart olasılık kuralları, bireysel olasılıklarının 'ikisi de gerçekleşir' veya 'en az biri gerçekleşir' gibi ortak sonuçların olasılığına nasıl birleştiğini belirler.
Bu hesaplayıcı, iki olayın bağımsız olduğunu varsayar: birinin gerçekleştiğini bilmek, diğerinin gerçekleşip gerçekleşmeyeceği hakkında hiçbir şey söylemez. Yazı tura atışları, ayrı zar atışları ve ilgisiz rastgele çekilişler bağımsızlığın klasik örnekleridir. Bağımsızlık altında, iki olayın da gerçekleşme olasılığı basitçe bireysel olasılıklarının çarpımıdır: P(A ve B) = P(A) x P(B).
Bağımsızlık varsayımı gereklidir ve varsayılan olarak kabul edilmek yerine gerçek durumla karşılaştırılarak kontrol edilmelidir. Aynı desteden yerine koymadan iki kart çekmek veya aynı gün iki hava olayı, bağımlıdır — ilk sonuç ikincinin olasılıklarını değiştirir — ve çarpım kuralı bu durumda gerçek ortak olasılığı olduğundan düşük veya yüksek gösterir. Bağımlı olaylar için koşullu olasılıklar gereklidir: P(A ve B) = P(A) x P(B verildiğinde A).
Bu olasılık hesaplama aracı nasıl kullanılır
- A olayının olasılığını 0 ile 100 arasında bir yüzde olarak girin, örneğin adil bir yazı tura atışında yazı gelmesi için 50.
- B olayının olasılığını yüzde olarak girin, örneğin 30.
- İki olayın gerçekten bağımsız olduğunu doğrulayın — birinin gerçekleşmesi diğerinin şansını değiştirmemelidir. Burada kullanılan formüller yalnızca bu varsayım altında geçerlidir.
- Dört birleşik olasılığı okuyun: ikisi de gerçekleşir, en az biri gerçekleşir, A gerçekleşmez ve hiçbiri gerçekleşmez.
Bağımsız olaylar için olasılık kuralları
Çarpım kuralı (ikisi de gerçekleşir): bağımsız olaylar için P(A ve B) = P(A) x P(B). Tümleyen kuralı: P(A değil) = 1 - P(A). Hiçbiri gerçekleşmez: P(hiçbiri) = (1 - P(A)) x (1 - P(B)), bu da çarpım kuralını iki tümleyene uygular. En az biri gerçekleşir (kapsama-dışlama): P(A veya B) = P(A) + P(B) - P(A ve B).
P(A) = %50 ve P(B) = %30 ile, 0,5 ve 0,3 olarak yazılan çözülmüş örnek. İkisi de: 0,5 x 0,3 = 0,15 = %15. En az biri: 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65 = %65. A değil: 1 - 0,5 = 0,5 = %50. Hiçbiri: 0,5 x 0,7 = 0,35 = %35. Bir tutarlılık kontrolü olarak, 'en az biri' ve 'hiçbiri' tümleyendir: %65 + %35 = %100.
'En az biri' formülünde P(A ve B)'nin çıkarılması, çift saymayı önler: aksi takdirde her iki olayın da gerçekleştiği sonuçlar bir kez P(A)'da ve bir kez de P(B)'de sayılırdı.
Sık yapılan hatalar
- 'A veya B' için çakışmayı çıkarmadan olasılıkları toplamak: yalnızca P(A) + P(B), ikisinin de gerçekleştiği sonuçları çift sayar ve hatta %100'ü aşabilir.
- Bağımlı olayların olasılıklarını bağımsızmış gibi çarpmak — yerine koymadan kart çekmek klasik karşı örnektir.
- Kumarbaz yanılgısı: bağımsız denemeleri, geçmiş sonuçlar gelecekteki olasılıkları değiştiriyormuş gibi ele almak; beş kez yazı gelen adil bir para, bir sonraki atışta yine de %50 yazı gelme şansına sahiptir.
- 'İkisi de gerçekleşir' ile 'en az biri gerçekleşir'i karıştırmak — P(A) = %50 ve P(B) = %30 için bunlar %15 ve %65'tir, çok farklı miktarlardır.
Sıkça Sorulan Sorular
İki olayın bağımsız olması ne anlama gelir?
İki olay, birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmediğinde bağımsızdır — biçimsel olarak, P(A ve B) = P(A) x P(B). Ayrı yazı tura atışları ve ilgisiz zar atışları bağımsızdır; aynı desteden yerine koymadan iki kart çekmek bağımsız değildir, çünkü ilk çekiliş destenin bileşimini değiştirir.
İki olayın da gerçekleşme olasılığını nasıl hesaplarım?
Bağımsız olaylar için bireysel olasılıkları çarpın: P(A ve B) = P(A) x P(B). Örneğin, P(A) = %50 ve P(B) = %30 ile, ikisinin de gerçekleşme olasılığı 0,5 x 0,3 = 0,15, yani %15'tir. Bu çarpım kuralı yalnızca olaylar bağımsız olduğunda geçerlidir.
En az bir olayın gerçekleşme olasılığını nasıl hesaplarım?
Kapsama-dışlama kuralını kullanın: P(A veya B) = P(A) + P(B) - P(A ve B). %50 ve %30'da bağımsız olaylarla, bu 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65, yani %65'tir. Eşdeğer olarak, 1 eksi hiçbirinin gerçekleşmeme olasılığını hesaplayın: 1 - (0,5 x 0,7) = 0,65.
Neden 'A veya B' için iki olasılığı doğrudan toplayamıyorum?
Çünkü her iki olayın da gerçekleştiği sonuçlar iki kez sayılır — bir kez P(A)'da ve bir kez P(B)'de. %50 ve %30'u toplamak %80 verir, ancak bağımsız olaylar için doğru cevap, %15'lik çakışma çıkarıldığında %65'tir. Basit toplama, yalnızca tanım gereği ikisi birden gerçekleşemeyen birbirini dışlayan olaylar için geçerlidir.
Ya olaylarım bağımsız değilse?
O zaman bu formüller geçerli değildir. Bağımlı olaylar için ortak olasılık, koşullu bir olasılık kullanır: P(A ve B) = P(A) x P(B verildiğinde A), burada P(B verildiğinde A), A'nın gerçekleştiği bilindikten sonra B'nin olasılığıdır. Örneğin, standart bir desteden yerine koymadan iki as çekme şansı (4/52) x (3/51)'dir, (4/52) x (4/52) değil.
Kaynaklar
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.