Hangi ortalamayı kullanmalısınız?
Her ortalama farklı bir soruyu yanıtlar. Aşağıdaki tablo, her birinin ne zaman uygun bir özet olduğunu gösterir.
| Ortalama | Değerler şu şekilde birleştiğinde kullanın | Tipik uygulamalar |
|---|---|---|
| Aritmetik | Toplama | Sınav puanları, boy uzunlukları, sıcaklıklar, genel ortalamalar |
| Geometrik | Çarpma | Büyüme oranları, yatırım getirileri, oranlar, endeks sayıları |
| Harmonik | Tersler (oranlar) | Eşit mesafeler üzerindeki ortalama hız, fiyat/kazanç oranları, paralel dirençler |
- Geometrik ve harmonik ortalamalar yalnızca tümü pozitif değerler için tanımlıdır. Bu hesaplayıcı, liste sıfır veya negatif sayı içerdiğinde bunları göstermez.
- Tümü pozitif herhangi bir veri kümesi için aritmetik ortalama >= geometrik ortalama >= harmonik ortalama olur; eşitlik yalnızca tüm değerler eşit olduğunda geçerlidir (AO-GO-HO eşitsizliği).
- Yüzde büyüme oranlarını aritmetik ortalamayla ortalamak, kümülatif büyümeyi olduğundan fazla gösterir; büyüme katsayılarının geometrik ortalaması, doğru eşdeğer sabit oranı verir.
Aritmetik, geometrik ve harmonik ortalama nedir?
Aritmetik ortalama, değerlerin toplamının sayılarına bölünmesidir. Toplama yoluyla birleşen büyüklükler — boy uzunluğu, sınav puanları veya sıcaklıklar gibi — için uygun ortalama türüdür ve çoğu insanın 'ortalama' derken kastettiği budur.
Geometrik ortalama, n adet pozitif değerin çarpımının n'inci köküdür. Çarpma yoluyla birleşen büyüklükler — büyüme oranları ve oranlar gibi — için uygun ortalama türüdür: yıllık büyüme katsayılarının geometrik ortalaması, aynı toplam büyümeyi üretecek sabit oranı verir. Yalnızca tümü pozitif veriler için tanımlıdır, çünkü sıfır çarpımı sıfıra indirger ve negatif değerler kökün gerçek olmayan bir sayı olmasına yol açabilir.
Harmonik ortalama, sayı adedinin değerlerin terslerinin toplamına bölünmesidir. Sabit bir pay üzerindeki oranlar için uygun ortalama türüdür; klasik örneği eşit mesafeler üzerindeki ortalama hızdır. Geometrik ortalama gibi, tüm değerlerin pozitif olmasını gerektirir. Tümü pozitif herhangi bir veri kümesi için üç ortalama şu eşitsizliğe uyar: aritmetik >= geometrik >= harmonik, eşitlik yalnızca tüm değerler aynı olduğunda geçerlidir.
Bu ortalama hesaplama aracı nasıl kullanılır
- Sayılarınızı noktalı virgülle ayırarak girin, örneğin: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- Her zaman gösterilen aritmetik ortalamayı okuyun.
- Her değer pozitifse geometrik ve harmonik ortalamaları da okuyun; liste sıfır veya negatif değer içerdiğinde bunlar tanımlı olmadığından, bu durumda gösterilmez.
- Probleminize uyan ortalamayı seçin: toplamsal büyüklükler için aritmetik, büyüme oranları ve oranlar için geometrik, eşit mesafeler üzerindeki hızlar gibi oranlar için harmonik.
Üç ortalama için formüller
Aritmetik ortalama: n değeri toplayın ve n'e bölün. Geometrik ortalama: n değeri çarpın ve n'inci kökünü alın (uygulamada logaritmaların ortalamasının üsteli olarak hesaplanır). Harmonik ortalama: n'yi terslerin toplamına bölün.
Değerleri 1, 4, 16 olan çözülmüş bir örnek. Aritmetik: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. Geometrik: çarpım 1 x 4 x 16 = 64'tür ve 64'ün küpkökü 4'tür. Harmonik: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, yaklaşık 2,285714. 7 >= 4 >= 2,285714 olduğuna dikkat edin; bu, aritmetik-geometrik-harmonik eşitsizliğini gösterir.
Harmonik ortalama için hız örneği: aynı mesafeyi önce 30 km/sa, ardından 60 km/sa hızla kat etmek, 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/sa'lık bir ortalama hız verir; 45 km/sa'lık aritmetik ortalama değil, çünkü daha yavaş hızda daha fazla zaman geçirilir.
Sık yapılan hatalar
- Büyüme oranları için aritmetik ortalamayı kullanmak: %50 artışlı bir yılın ardından gelen %50 azalışlı bir yıl aritmetik olarak %0 ortalamaya sahiptir, oysa yatırım toplamda %25 azalmıştır; 1,5 ve 0,5 katsayılarının geometrik ortalaması (yaklaşık 0,866) gerçek ortalama değişimi yansıtır.
- Eşit mesafeler üzerindeki hızları aritmetik ortalamayla ortalamak — eşit mesafeli yol parçaları harmonik ortalamayı gerektirir.
- Sıfır veya negatif değer içeren verilere geometrik veya harmonik ortalamayı uygulamak; bu durumlarda bunlar tanımsızdır.
- Üç ortalamanın birbirine eşit çıkmasını beklemek — bunlar yalnızca listedeki her değer aynı olduğunda çakışır.
Sıkça Sorulan Sorular
Aritmetik ortalama ile geometrik ortalama arasındaki fark nedir?
Aritmetik ortalama değerleri toplar ve sayı adedine böler; geometrik ortalama değerleri çarpar ve n'inci kökünü alır. Aritmetik ortalama, toplama yoluyla birleşen büyüklüklere uyarken, geometrik ortalama büyüme katsayıları gibi çarpma yoluyla birleşen büyüklüklere uyar. 1, 4 ve 16 değerleri için aritmetik ortalama 7, geometrik ortalama ise 4'tür.
Harmonik ortalamayı ne zaman kullanmalıyım?
Pay sabit olduğunda oranları ortalamak için harmonik ortalamayı kullanın — klasik örneği eşit mesafeler üzerindeki ortalama hızdır. Aynı mesafeyi 30 km/sa ve 60 km/sa hızla kat etmek, 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/sa'lık bir ortalama verir, 45 km/sa değil, çünkü daha yavaş hızda daha fazla zaman geçirilir. Harmonik ortalama, fiyat/kazanç oranlarını ortalamada ve paralel elektrik dirençlerini birleştirmede de karşımıza çıkar.
Bu hesaplayıcı neden bazen yalnızca aritmetik ortalamayı gösterir?
Geometrik ve harmonik ortalamalar yalnızca listedeki her değer pozitif olduğunda tanımlıdır. Sıfır, geometrik ortalamayı sıfıra indirger ve harmonik ortalamayı tanımsız kılar (sıfıra bölme), negatif değerler ise çarpımın n'inci kökünün gerçek olmayan bir sayı olmasına yol açabilir. Liste sıfır veya negatif değer içerdiğinde yalnızca aritmetik ortalama raporlanır.
Geometrik ortalama neden yatırım getirileri için doğrudur?
Yatırım getirileri çarpımsal olarak bileşiklenir. Bir portföy ardışık yıllarda 1,5 (%50 artış) ve 0,5 (%50 azalış) katsayılarıyla büyürse, toplam katsayı 1,5 x 0,5 = 0,75'tir. Katsayıların geometrik ortalaması olan sqrt(0,75), yaklaşık 0,866, aynı sonucu üreten sabit yıllık katsayıdır — yılda yaklaşık %13,4'lük bir ortalama kayıp ki bunu %0'lık aritmetik ortalama tamamen gözden kaçırır.
Aritmetik ortalama her zaman üç ortalamanın en büyüğü müdür?
Pozitif sayılardan oluşan veri kümeleri için evet: aritmetik ortalama geometrik ortalamaya eşit veya ondan büyüktür, o da harmonik ortalamaya eşit veya ondan büyüktür. Eşitlik yalnızca tüm değerler aynı olduğunda geçerlidir. Bu, klasik cebirde standart bir sonuç olan AO-GO-HO eşitsizliğidir.
Kaynaklar
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).