İki formül, küçük ama önemli tek bir fark
Her iki standart sapma formülü de aynı biçimde başlar: verinin ortalaması hesaplanır, her değerden bu ortalama çıkarılır, elde edilen sapmaların kareleri alınır ve kareler toplanır. Ayrıştıkları yer son bölme adımıdır. Yunan harfi sigma ile gösterilen evren standart sapması, bu kareli sapmalar toplamını değerlerin toplam sayısı olan n'e böler ve ardından karekökünü alır. s ile gösterilen örneklem standart sapması ise aynı toplamı n − 1'e böler ve karekökünü alır; bu değişiklik Bessel düzeltmesi adıyla bilinir.
n − 1 her zaman n'den küçük bir bölen olduğu için (n birden büyükken), tamamen aynı sayılardan hesaplanan örneklem standart sapması evren standart sapmasından daima biraz büyüktür. Bu iki formül aynı sorunun rakip yöntemleri değildir; aynı veri hakkında iki farklı soruyu yanıtlarlar. Bu nedenle yanlış olanı seçmek, aslında sormak istediğiniz soruya sistemli biçimde yanlı bir yanıt üretir.
Uygulamalı örnek: aynı sekiz sayı, iki farklı yanıt
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 veri kümesini ele alalım (n = 8). 1. adım: ortalama (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5'tir. 2. adım: ortalamadan sapmalar −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 olur; bunların kareleri 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 olup toplamları 32'dir. Bu tek kareli sapmalar toplamından sonra iki formül yalnızca son bölme adımında ayrışır.
Evren standart sapması: 32 sayısı n = 8'e bölünür, evren varyansı 4 çıkar ve 4'ün karekökü tam olarak 2'dir. Örneklem standart sapması: aynı 32 sayısı n − 1 = 7'ye bölünür, örneklem varyansı 32 / 7 = 4,571429 olur (altı basamağa yuvarlanmış) ve 4,571429 sayısının karekökü yaklaşık 2,13809'dur. Aşağıdaki tablo, aynı başlangıç toplamından hareketle iki hesabı yan yana koymaktadır.
| Adım | Evren biçimi (n'e bölünür) | Örneklem biçimi (n − 1'e bölünür) |
|---|---|---|
| Kareli sapmalar toplamı | 32 | 32 |
| Bölen | n = 8 | n − 1 = 7 |
| Varyans | 32 / 8 = 4 | 32 / 7 = 4,571429 |
| Standart sapma | √4 = 2 | √4,571429 = 2,13809 |
Neden n − 1'e bölünür? Bessel düzeltmesi
Sapma hesabının içinde kullanılan örneklem ortalaması, yayılımı ölçülen verinin kendisinden hesaplanır ve matematiksel olarak o örneklem için kareli sapmalar toplamını en küçük yapan değer olduğu garantilidir. Dolayısıyla örneklem ortalaması çevresinde ölçülen kareli sapmalar, gerçek ama bilinmeyen evren ortalaması çevresinde ölçülecek olanlardan ortalamada biraz daha küçüktür; bu nedenle bir örneklemle çalışırken yalnızca n'e bölmek evren varyansını sistemli biçimde olduğundan düşük tahmin eder.
n yerine n − 1'e bölmek sonucu tam da bu aşağı yönlü yanlılığı ortalamada giderecek kadar büyütür ve örneklem varyansını, tekrarlı örneklemede evren varyansının yansız tahmin edicisi hâline getirir. Düzeltme, adını 19. yüzyıl gök bilimcisi ve matematikçisi Friedrich Bessel'den alır. Etkisi küçük örneklemlerde en büyüktür — n = 8 için 8 ve 7 bölenleri arasındaki fark %12,5'tir — ve n yüzlere ya da binlere çıktıkça ihmal edilebilir düzeye iner; çünkü n ile n − 1 oransal olarak birbirine yakınsar.
Elinizde bir evren mi var, yoksa bir örneklem mi?
Evren standart sapmasını (n'e bölme) yalnızca veri kümeniz ilgilendiğiniz grubun tamamıysa ve ötesine genelleme yapma niyetiniz yoksa kullanın — örneğin belirli bir spor takımındaki tüm oyuncuların yaşları ya da belirli bir sınıftaki tüm öğrencilerin sınav notları, soru yalnızca o takım veya o sınıfla ilgiliyse ve daha geniş bir kitleyi kapsamıyorsa.
Örneklem standart sapmasını (n − 1'e bölme) ise veriniz, hakkında sonuç çıkarmak istediğiniz daha büyük bir evrenden çekilmiş ya da onu temsil etmesi amaçlanmış bir alt kümeyse kullanın — örneğin tüm müşterilerdeki memnuniyeti tahmin etmek için yapılan 500 kişilik bir anket, daha geniş hasta evrenindeki etkiyi tahmin etmek için kullanılan bir klinik araştırma katılımcı grubu ya da bütün bir üretim hattını nitelemek için alınan bir kalite kontrol ölçüm kümesi. Uygulamalı istatistikte çok daha sık karşılaşılan durum budur; bu nedenle istatistik yazılımlarının çoğu, aksi belirtilmedikçe varsayılan olarak örneklem (n − 1) formülünü kullanır.
Bu seçim gerçekte ne kadar fark yaratır?
Çok küçük örneklemlerde iki formül arasındaki açıklık oransal olarak büyüktür ve yanlış seçim, doğrudan standart sapma üzerine kurulan güven aralıkları ile z-skorları dâhil olmak üzere sonraki sonuçları anlamlı biçimde çarpıtabilir. Yukarıdaki n = 8 örneğinde örneklem değeri (2,13809), evren değerinden (2) yaklaşık %6,9 daha büyüktür; bu fark, bir güven aralığının genişliğini benzer bir oranda kaydıracak kadar belirgindir.
Örneklem büyüklüğü arttıkça n ile n − 1 oransal olarak birbirine yaklaşır ve iki standart sapma yakınsar: 1.000 birimlik bir örneklemde 1.000 yerine 999'a bölmek sonucu yalnızca yaklaşık %0,05 değiştirir. Büyük örneklemli durumlarda bu seçim pratik sonuçları nadiren değiştirir; yine de doğru kural uygulanmalıdır — hem yerleşik istatistik uygulamasıyla tutarlılık için hem de farkın en çok önem taşıdığı küçük örneklem durumlarında doğru yapmanın asıl belirleyici olması nedeniyle.
Sıkça Sorulan Sorular
Örneklem ve evren standart sapması arasındaki fark nedir?
Evren standart sapması, ortalamadan kareli sapmaların toplamını değer sayısı olan n'e böler ve veri kümesi ilgilenilen evrenin tamamı olduğunda doğrudur. Örneklem standart sapması ise aynı toplamı n − 1'e böler ve veri, daha büyük bir evreni tahmin etmek için kullanılan bir örneklem olduğunda doğrudur. Aynı veride örneklem değeri her zaman evren değerinden biraz büyüktür; çünkü daha küçük bir sayıya bölünmektedir.
Bir örneklemde neden n − 1'e bölüyoruz?
Örneklem ortalaması, yayılımı ölçmek için kullanılan verinin kendisinden hesaplandığından, matematiksel olarak o örneklemde kareli sapmalar toplamını en küçük yapan değerdir; bu da söz konusu sapmaları gerçek evren ortalaması çevresindeki sapmalardan sistemli biçimde biraz küçük kılar. n yerine n − 1'e bölmek — Bessel düzeltmesi olarak bilinen düzeltme — bunu telafi eder ve örneklem varyansını evren varyansının yansız tahmin edicisi hâline getirir.
Bir anket ya da deney için hangisini kullanmalıyım?
Veriniz daha büyük bir evreni temsil etmesi amaçlanan bir alt kümeyse örneklem standart sapmasını (n − 1) kullanın; anketlerin, deneylerin ve kalite kontrol örneklemlerinin büyük çoğunluğu bu kapsama girer. Evren standart sapmasını (n) ise yalnızca veri kümeniz incelediğiniz grubun tamamıysa ve ötesine genelleme yapma niyetiniz yoksa kullanın.
İki yanıt pratikte ne kadar farklı çıkıyor?
Uygulamalı örnekte (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9; n = 8) evren standart sapması tam olarak 2, örneklem standart sapması ise yaklaşık 2,13809'dur; aradaki fark yaklaşık %6,9'dur. Örneklem büyüdükçe bu açıklık daralır: n = 1.000 için 1.000 yerine 999'a bölmek sonucu kabaca %0,05 değiştirir; bu da seçimi büyük örneklemlerde çok daha az önemli kılar.
n − 1 düzeltmesi ortalamayı da etkiler mi?
Hayır. Ortalama, verinin bir örneklemi mi yoksa bir evreni mi temsil ettiğinden bağımsız olarak her zaman değerler toplamının değer sayısı olan n'e bölünmesiyle bulunur; Bessel düzeltmesi yalnızca standart sapma ve varyans hesaplarında geçerlidir, ortalamanın kendisinde değil.
Kaynaklar
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.