符号を正しく置く
この種のソルバーが返す誤答は、そのほとんどが算術ではなく符号に由来します。表は最もよくある2つの場面の規約を示します。
| 場面 | PV | PMT | FV |
|---|---|---|---|
| 口座に貯める | 負（払い込む） | 負（払い込む） | 正（引き出す） |
| ローンを返す | 正（受け取る） | 負（返済する） | ゼロ、残価があれば負 |
| 投資を評価する | 負（支払う価格） | 正（受け取る収益） | 正（売却代金） |
- 入力する利率は、名目年利率を1年あたりの期数で割ったものです。実効年利率で提示されている商品の場合は、入力前に換算してください。
- 期数を解いた結果が整数になることはまれです。小数を伴う結果は、最後の期が部分的であることを意味します。
貨幣の時間価値とは
今日使えるお金は、同じ額を後で受け取るより価値があります。その間に運用できるからです。貨幣の時間価値は、この直観を1つの式に落とし込み、今日の一時金、一定額の支払いの流れ、期末の一時金、利率、期数を結びつけます。
つまずきやすいのは符号規約ですが、これは恣意的なものではありません。受け取るお金は正、支払うお金は負です。したがって預け入れは負、後で引き出す残高は正となり、受け取るローンは正、支払う返済は負になります。すべての値が同じ符号だと、式に意味のある解はありません。
支払いは各期の期末に来ることもあり、これが多くのローンで用いる期末払い年金です。各期の期首に来ることもあり、これが家賃や多くの保険料に見られる期首払い年金です。期首に払うと各支払いが1期分長く運用または計上されるため、2つの設定では答えが変わります。
使い方
- 5つの量のうちどれを求めるかを選びます。その量の入力欄は消えます。それが答えだからです。
- 残る4つを符号規約に従って入力します。出ていくお金は負、入ってくるお金は正です。
- 1年あたりの期数を設定します。毎月なら12、四半期なら4、毎年なら1です。
- 支払いが各期の期末か期首かを選びます。
- 結果を読み取ります。利率を解く場合は年利率と実効年利率の両方が表示されます。
ソルバーの背後にある式
5つの量は1つの関係を満たします。現在価値を n 期分だけ複利で先送りし、支払いの流れを年金として評価し、将来価値を加えます。値が整合していれば合計はゼロになります。
5つのうち4つは代数的に単独で解けます。利率は解けないため二分法で求めます。金利計算ツールと同じ手法で、理由も同じです。
よくある間違い
- すべての値を正で入力すること。式に解があるには少なくとも1回の符号の変化が必要です。
- 年利率と毎月の期数を混ぜたまま、1年あたりの期数を設定しないこと。
- 家賃のように前払いされる支払いに期末払いの設定を使うこと。これらは期首払い年金です。
- 名目利率が求められている箇所に実効年利率を入力すること。
- 小数を伴う期数を誤りだと考えること。最後の期が部分的だという意味です。
よくある質問
貨幣の時間価値の5つの変数とは？
現在価値、将来価値、毎期支払額、期数、利率です。1つの式で結ばれているため、いずれか4つが5つ目を決めます。金融電卓が PV、FV、PMT、N、I/Y と表示するのと同じ組です。
なぜ負の数を入力しなければならないのですか？
式が入りと出を釣り合わせるからです。支払うお金は負、受け取るお金は正です。目標に向けて毎月100を積み立てるのは -100 の支払いであり、最終的に引き出す残高は正です。すべての数字が同じ符号なら釣り合わせるものがなく、解も存在しません。
期末払い年金と期首払い年金の違いは？
期末払い年金は各期の期末に支払い、ローンの標準です。期首払い年金は期首に支払い、家賃や多くの保険料がこれにあたります。期首払いでは各支払いが1期分長く複利で回るため、その価値は同等の期末払い年金の (1 + i) 倍になります。
式がないのに利率はどう解くのですか？
数値探索によってです。利率は乗数としても指数の中にも現れるため単独では解けません。ソルバーは答えを区間で挟み、表示精度をはるかに超えて収束するまで区間を繰り返し半分にします。
年利率と実効年利率の違いは？
ここでの年利率は名目です。1期あたりの利率に1年の期数を掛けたもので、年内の複利は考慮しません。実効年利率 (1 + i)^m - 1 はこれを織り込み、複利頻度の異なる商品を比較する正しい基準になります。
参考文献
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance, 13th edition. McGraw-Hill Education, 2019 — chapters on present value and valuing annuities.
- Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. Investments, 12th edition. McGraw-Hill Education, 2021.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd edition. Cambridge University Press, 2007 — root finding by bisection.