複利計算結果の見方
以下の表は、名目年利6%の場合に、複利の頻度が実質年利回り(EAY)にどう影響するかを示しています。複利の頻度が高いほど、わずかに多くの利息が発生します。
| 複利の頻度 | 実質年利回り(名目金利6%の場合) |
|---|---|
| 年1回(n=1) | 6.000% |
| 四半期ごと(n=4) | 6.136% |
| 毎月(n=12) | 6.168% |
| 毎日(n=365) | 6.183% |
| 連続複利 | 6.184% |
- 本ツールでは、積立額を一定の月額として計算しています。実際の投資収益は変動するため、単一の平均利回りを使用する方法は簡略化されたものであり、実際のポートフォリオの変動を正確に反映していない場合があります。
- 72の法則は、年1回の複利計算で、年利4%から12%程度の範囲において最も正確です。この範囲外の金利や、より頻繁な複利計算の場合は、正確な倍増期間はln(2)/ln(1+r)で計算する必要があります。
- 表示される将来価値からはインフレの影響は差し引かれていません。購買力を考慮した実質的な成長を見積もるには、計算前に想定インフレ率を名目金利から差し引いてください。
- 株式、債券、その他の資産の投資収益は保証されておらず、マイナスになることもあります。過去の運用実績は将来の成果を示すものではありません。
複利とは?
複利とは、ある期間に発生した利息が元金に加算され、次の期間はその合計額に対して利息が発生するしくみのことです。複利の頻度が高いほど、発生した利息がより早く新たな利息を生み出すため、残高の増加も速くなります。アルバート・アインシュタインが複利を「人類最大の発明」と呼んだという逸話がよく知られていますが(出典には諸説あります)、その真偽にかかわらず、この数学的な現象自体は広く確立されています。
複利の頻度(年・四半期・月・日)は、1年間に何回利息が計算され、残高に加算されるかを決定します。月複利(n = 12)は、預金口座や多くの投資口座で最も一般的な頻度です。日複利(n = 365)は、一部の高金利預金口座やマネー・マーケット・ファンドで採用されています。実務上、月複利と日複利の差はごくわずかです。
72の法則は、金融でよく知られた近似計算方法です。72を年利率で割ると、投資が倍になるまでのおおよその年数がわかります。年利6%の場合、72 ÷ 6 = 12年となります。この法則は、年利4%から12%程度の範囲で、かつ年1回の複利計算のときに最も精度が高くなります。本ツールでは、正の金利が入力されると、この72の法則による目安を表示します。
複利計算ツールの使い方
- 初期元金(最初の残高または一括投資額)を入力してください。
- 毎月の積立額を入力してください。一括投資のみを計算する場合は0を入力してください。
- 年利率をパーセントで入力してください。
- 運用期間を年数で入力してください。
- プルダウンメニューから複利の頻度(年・四半期・月・日)を選択してください。
- 将来価値、積立総額、獲得した利息の合計、倍増までの目安期間を確認してください。
複利の計算式
年利率rで年n回複利計算されるとき、t年間運用した一括元金の将来価値は、以下の計算式で表されます。毎月の積立額の将来価値は、月利(r/12)で複利計算する別の年金計算式を用いて別途算出し、加算します。これは、一括元金の複利頻度にかかわらず、積立は毎月行われるものと仮定しているためです。
72の法則の近似計算は、72を年利率(パーセント表記、小数ではありません)で割るというものです。この近似が成り立つのは、ln(2) ≈ 0.693であり、この法則が自然対数の代わりに0.72/利率という覚えやすい形を用いているためです。
よくある質問
複利の計算式は何ですか?
複利の計算式は A = P(1 + r/n)^(nt) です。Aは将来価値、Pは元金、rは小数で表した年利率、nは1年あたりの複利回数、tは年数です。例えば、10,000ドルを年利5%で毎月複利にして10年間運用すると、10,000 × (1 + 0.05/12)^(12×10) = 16,470ドルに成長します。
72の法則とは何ですか?
72の法則は、投資が倍になるまでの年数を暗算で見積もる方法で、72をパーセント表記の年利率で割って求めます。年利8%の場合、72 ÷ 8 = 9年で倍になる計算です。この法則は正確な計算式 t = ln(2)/ln(1+r) から導かれたもので、おおむね年利4%から12%の範囲で最も精度が高くなります。
複利の頻度は運用成果にどう影響しますか?
複利の頻度が高いほど、発生した利息がより早く元金に組み入れられ、その利息自体がさらに利息を生むため、実質的な利回りは高くなります。ただし実務上、毎月複利と毎日複利の差はごくわずかです。名目年利6%の場合、毎月複利の実質利回りは6.168%、毎日複利では6.183%となり、その差はわずか0.015ポイントです。
APYとAPRの違いは何ですか?
APR(年率、名目金利)は複利の効果を考慮しない年利率です。APY(年間利回り。実効年利率、EARとも呼ばれます)は、年内の複利効果を反映した実際のリターンを表します。APY = (1 + APR/n)^n − 1(nは年間の複利回数)で計算されます。預金口座では、実際に得られるリターンを示すためにAPYが広告に使われます。
複利は借金にも適用されますか?
はい。クレジットカード、住宅ローン、学生ローンなど、多くの負債には複利が適用されます。つまり、未払いの利息が残高に加算され、それ以降の利息はその大きくなった残高に対して発生します。これが、高いAPRのクレジットカード残高を長期間放置すると、当初借り入れた金額をはるかに超える支払いになってしまう理由です。
参考文献
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill, 2020. Chapter 2: Discounted Cash Flow Analysis.
- Ross SA, Westerfield R, Jordan BD. Fundamentals of Corporate Finance (12th ed.). McGraw-Hill, 2019. Chapter 5: Introduction to Valuation.
- Consumer Financial Protection Bureau (CFPB). What is APY? consumerfinance.gov.
- Federal Deposit Insurance Corporation (FDIC). Understanding deposit insurance and savings account yields. fdic.gov.