Welches Mittel sollten Sie verwenden?
Jedes Mittel beantwortet eine andere Frage. Die folgende Tabelle fasst zusammen, wann welches Maß angebracht ist.
| Mittel | Werte verbinden sich durch | Typische Anwendungen |
|---|---|---|
| Arithmetisch | Addition | Prüfungsnoten, Körpergrößen, Temperaturen, allgemeine Durchschnitte |
| Geometrisch | Multiplikation | Wachstumsraten, Anlagerenditen, Verhältnisse, Indexzahlen |
| Harmonisch | Kehrwerte (Raten) | Durchschnittsgeschwindigkeit über gleiche Strecken, Kurs-Gewinn-Verhältnisse, Parallelwiderstände |
- Das geometrische und das harmonische Mittel sind nur für durchweg positive Werte definiert. Dieser Rechner lässt sie weg, wenn die Liste Null oder negative Zahlen enthält.
- Für jeden durchweg positiven Datensatz gilt: arithmetisches Mittel >= geometrisches Mittel >= harmonisches Mittel, mit Gleichheit nur dann, wenn alle Werte gleich sind (AM-GM-HM-Ungleichung).
- Prozentuale Wachstumsraten mit dem arithmetischen Mittel zu mitteln, überschätzt das kumulierte Wachstum; das geometrische Mittel der Wachstumsfaktoren liefert die korrekte äquivalente konstante Rate.
Was sind arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel?
Das arithmetische Mittel ist die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl. Es ist das passende Mittel für Größen, die sich additiv verbinden, etwa Körpergrößen, Prüfungsnoten oder Temperaturen, und es ist das, was die meisten Menschen unter »dem Durchschnitt« verstehen.
Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt von n positiven Werten. Es ist das passende Mittel für Größen, die sich multiplikativ verbinden, etwa Wachstumsraten und Verhältnisse: Das geometrische Mittel jährlicher Wachstumsfaktoren liefert die konstante Rate, die dasselbe Gesamtwachstum erzeugen würde. Es ist nur für durchweg positive Daten definiert, da eine Null das Produkt auf null zusammenfallen lässt und negative Werte die Wurzel nicht reell werden lassen können.
Das harmonische Mittel ist die Anzahl geteilt durch die Summe der Kehrwerte der Werte. Es ist das passende Mittel für Raten mit festem Zähler, klassischerweise die Durchschnittsgeschwindigkeit über gleiche Strecken. Wie das geometrische Mittel setzt es voraus, dass alle Werte positiv sind. Für jeden durchweg positiven Datensatz gilt die Ungleichung: arithmetisch >= geometrisch >= harmonisch, wobei Gleichheit nur dann eintritt, wenn alle Werte identisch sind.
So verwenden Sie diesen Mittelwertrechner
- Geben Sie Ihre Zahlen durch ; getrennt ein, zum Beispiel: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- Lesen Sie das arithmetische Mittel ab, das stets angezeigt wird.
- Sind alle Werte positiv, lesen Sie zusätzlich das geometrische und das harmonische Mittel ab; sie sind nicht definiert, wenn die Liste Null oder negative Werte enthält, und werden in diesem Fall weggelassen.
- Wählen Sie das Mittel, das zu Ihrer Fragestellung passt: das arithmetische für additive Größen, das geometrische für Wachstumsraten und Verhältnisse, das harmonische für Raten wie Geschwindigkeiten über gleiche Strecken.
Formeln für die drei Mittelwerte
Arithmetisches Mittel: Addieren Sie die n Werte und teilen Sie durch n. Geometrisches Mittel: Multiplizieren Sie die n Werte und ziehen Sie die n-te Wurzel (in der Praxis berechnet als Exponentialfunktion des Mittels der Logarithmen). Harmonisches Mittel: Teilen Sie n durch die Summe der Kehrwerte.
Rechenbeispiel mit den Werten 1, 4, 16. Arithmetisch: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. Geometrisch: Das Produkt beträgt 1 x 4 x 16 = 64, und die dritte Wurzel aus 64 ist 4. Harmonisch: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, also rund 2,285714. Beachten Sie, dass 7 >= 4 >= 2,285714 gilt, was die Ungleichung zwischen arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel veranschaulicht.
Geschwindigkeitsbeispiel für das harmonische Mittel: Fährt man dieselbe Strecke zunächst mit 30 km/h und anschließend mit 60 km/h, beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h und nicht das arithmetische Mittel von 45 km/h, da mehr Zeit bei der langsameren Geschwindigkeit verbracht wird.
Häufige Fehler
- Das arithmetische Mittel für Wachstumsraten verwenden: Ein Jahr mit +50 % gefolgt von einem Jahr mit -50 % ergibt arithmetisch gemittelt 0 %, obwohl die Anlage insgesamt 25 % im Minus liegt; das geometrische Mittel der Faktoren 1,5 und 0,5 (rund 0,866) gibt die tatsächliche durchschnittliche Veränderung wieder.
- Geschwindigkeiten über gleiche Strecken mit dem arithmetischen Mittel mitteln — bei gleich langen Teilstrecken ist das harmonische Mittel erforderlich.
- Das geometrische oder harmonische Mittel auf Daten mit Nullen oder negativen Werten anwenden, wo sie nicht definiert sind.
- Erwarten, dass die drei Mittel übereinstimmen — sie fallen nur dann zusammen, wenn jeder Wert der Liste identisch ist.
Häufig gestellte Fragen
Worin unterscheiden sich arithmetisches und geometrisches Mittel?
Das arithmetische Mittel addiert die Werte und teilt durch die Anzahl; das geometrische Mittel multipliziert die Werte und zieht die n-te Wurzel. Das arithmetische Mittel eignet sich für Größen, die sich additiv verbinden, das geometrische für Größen, die sich multiplikativ verbinden, etwa Wachstumsfaktoren. Für die Werte 1, 4 und 16 beträgt das arithmetische Mittel 7 und das geometrische Mittel 4.
Wann sollte ich das harmonische Mittel verwenden?
Verwenden Sie das harmonische Mittel, um Raten zu mitteln, deren Zähler fest ist — der klassische Fall ist die Durchschnittsgeschwindigkeit über gleiche Strecken. Fährt man dieselbe Strecke mit 30 km/h und mit 60 km/h, ergibt sich 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h und nicht 45 km/h, da mehr Zeit bei der langsameren Geschwindigkeit verbracht wird. Das harmonische Mittel begegnet außerdem beim Mitteln von Kurs-Gewinn-Verhältnissen und beim Zusammenschalten paralleler elektrischer Widerstände.
Warum zeigt dieser Rechner manchmal nur das arithmetische Mittel?
Das geometrische und das harmonische Mittel sind nur definiert, wenn jeder Wert der Liste positiv ist. Eine Null lässt das geometrische Mittel auf null zusammenfallen und macht das harmonische Mittel undefiniert (Division durch null), und negative Werte können die n-te Wurzel des Produkts nicht reell werden lassen. Enthält die Liste Null oder negative Werte, wird daher nur das arithmetische Mittel ausgewiesen.
Warum ist das geometrische Mittel für Anlagerenditen richtig?
Anlagerenditen verzinsen sich multiplikativ. Wächst ein Portfolio in aufeinanderfolgenden Jahren um die Faktoren 1,5 (plus 50 %) und 0,5 (minus 50 %), beträgt der Gesamtfaktor 1,5 x 0,5 = 0,75. Das geometrische Mittel der Faktoren, √0,75, also rund 0,866, ist der konstante Jahresfaktor, der dasselbe Ergebnis erzeugt — ein durchschnittlicher Verlust von etwa 13,4 % pro Jahr, den das arithmetische Mittel von 0 % vollständig übersieht.
Ist das arithmetische Mittel immer das größte der drei Mittel?
Bei Datensätzen aus positiven Zahlen ja: Das arithmetische Mittel ist größer oder gleich dem geometrischen Mittel, und dieses ist größer oder gleich dem harmonischen Mittel. Gleichheit gilt nur, wenn alle Werte identisch sind. Dies ist die AM-GM-HM-Ungleichung, ein Standardergebnis der klassischen Algebra.
Quellenangaben
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).