Ihren z-Wert verstehen
Die folgende Tabelle zeigt ausgewählte z-Werte und ihre Perzentile in der Standardnormalverteilung.
| z-Wert | Perzentil (Anteil darunter) | Deutung |
|---|---|---|
| -2 | 2,28 % | Zwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert; ungewöhnlich niedrig |
| -1 | 15,87 % | Eine Standardabweichung unter dem Mittelwert |
| 0 | 50 % | Genau am Mittelwert (und am Median, bei einer Normalverteilung) |
| +1 | 84,13 % | Eine Standardabweichung über dem Mittelwert |
| +2 | 97,72 % | Zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert; ungewöhnlich hoch |
| +3 | 99,87 % | Drei Standardabweichungen über dem Mittelwert; unter Normalverteilung selten |
- Perzentile setzen voraus, dass die zugrunde liegende Verteilung annähernd normal ist. Bei schiefen oder endlastigen Daten ist die Umrechnung von z in Perzentile unzuverlässig, auch wenn der z-Wert selbst wohldefiniert bleibt.
- Nach der empirischen Regel liegen etwa 68 % einer Normalverteilung zwischen z = -1 und +1, etwa 95 % zwischen -2 und +2 und etwa 99,7 % zwischen -3 und +3.
- Ein z-Wert sagt nichts darüber aus, ob ein Wert gut oder schlecht ist — nur, wie weit er vom Mittelwert seiner eigenen Verteilung entfernt liegt.
Was ist ein z-Wert?
Ein z-Wert standardisiert einen Wert, indem er dessen Abstand zum Mittelwert in Einheiten der Standardabweichung ausdrückt. Ein z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert dem Mittelwert entspricht; +1 bedeutet eine Standardabweichung über dem Mittelwert, -2 zwei Standardabweichungen darunter. Die Standardisierung stellt Messungen unterschiedlicher Skalen auf eine gemeinsame Grundlage, weshalb z-Werte genutzt werden, um Testergebnisse, Wachstumsmaße und Laborwerte über verschiedene Verteilungen hinweg zu vergleichen.
Ist die zugrunde liegende Verteilung normal (glockenförmig), lässt sich der z-Wert über die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (CDF) unmittelbar in ein Perzentil übersetzen. Die Verteilungsfunktion gibt den Anteil der Verteilung unterhalb eines gegebenen z an — so liegen etwa 84,13 % einer Normalverteilung unter z = 1 und rund 97,72 % unter z = 2. Dieser Rechner wertet die Verteilungsfunktion mit der Näherung von Abramowitz und Stegun (Formel 7.1.26) aus, die auf rund 7,5 x 10^-8 genau ist.
Die Deutung als Perzentil setzt Normalverteilung voraus. z-Werte lassen sich für beliebige Daten berechnen, doch ihre Umrechnung in Perzentile über die Normalverteilungsfunktion ist nur dann genau, wenn die Verteilung annähernd normal ist; bei schiefen oder endlastigen Daten können die angegebenen Perzentile irreführend sein.
So verwenden Sie diesen z-Wert-Rechner
- Geben Sie den zu standardisierenden Wert (x) ein — etwa ein einzelnes Testergebnis.
- Geben Sie den Mittelwert der Verteilung ein, aus der der Wert stammt.
- Geben Sie die Standardabweichung der Verteilung ein, die größer als null sein muss.
- Lesen Sie den z-Wert ab, das Perzentil (den Anteil der Verteilung unterhalb des Werts unter Annahme der Normalverteilung) sowie den Anteil darüber.
Die Formel für den z-Wert
Der z-Wert ist der Wert minus dem Mittelwert, geteilt durch die Standardabweichung: z = (x - Mittelwert) / sd. Ein positives z bedeutet, dass der Wert über dem Mittelwert liegt, ein negatives z, dass er darunter liegt.
Rechenbeispiel: x = 130, Mittelwert = 100, Standardabweichung = 15 (die klassische IQ-Skala). z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Der Wert liegt genau zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert. Nach der Standardnormalverteilung beträgt der Anteil unterhalb von z = 2 gleich 0,9772, der Wert liegt also im 97,72. Perzentil, und rund 2,28 % der Verteilung liegen darüber.
Perzentile stammen aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: Perzentil = CDF(z) x 100 und Anteil darüber = (1 - CDF(z)) x 100. Die Verteilungsfunktion besitzt keine geschlossene Darstellung; dieser Rechner verwendet die Näherung 7.1.26 von Abramowitz und Stegun (1964).
Häufige Fehler
- z-Werte bei deutlich nicht normalverteilten Daten in Perzentile umrechnen — die Zuordnung über die Normalverteilungsfunktion setzt eine glockenförmige Verteilung voraus.
- Die Richtung verwechseln: Ein negativer z-Wert bedeutet, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt, und ist weder ein Fehler noch ein unmögliches Ergebnis.
- Durch die Varianz statt durch die Standardabweichung teilen — im Nenner der z-Formel steht die Standardabweichung.
- Mittelwert und Standardabweichung der Grundgesamtheit einer Gruppe verwenden, um einen Wert aus einer anderen Gruppe zu standardisieren, was einen sinnlosen Vergleich erzeugt.
- Perzentil mit prozentualem Ergebnis verwechseln: Im 97,7. Perzentil zu liegen bedeutet, besser als rund 97,7 % der Verteilung abzuschneiden, und nicht, im Test 97,7 % erreicht zu haben.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich einen z-Wert?
Ziehen Sie den Mittelwert vom Wert ab und teilen Sie anschließend durch die Standardabweichung: z = (x - Mittelwert) / sd. Ein Ergebnis von 130 auf einer Skala mit dem Mittelwert 100 und der Standardabweichung 15 ergibt z = (130 - 100) / 15 = 2, das Ergebnis liegt also zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert.
Welchem Perzentil entspricht ein z-Wert von 2?
Etwa dem 97,72. Perzentil. Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung beträgt bei z = 2 gleich 0,9772, das heißt 97,72 % einer Normalverteilung liegen unter diesem Wert und 2,28 % darüber.
Was ist ein guter z-Wert?
z-Werte sind neutrale Messgrößen und keine Noten — ob ein bestimmtes z wünschenswert ist, hängt ganz vom Zusammenhang ab. Ein z von +2 ist für ein Testergebnis hervorragend, für den Blutdruck jedoch alarmierend. Werte jenseits von etwa -2 oder +2 gelten konventionell als ungewöhnlich, da weniger als 5 % einer Normalverteilung außerhalb dieses Bereichs liegen.
Kann ein z-Wert negativ sein?
Ja. Ein negativer z-Wert bedeutet schlicht, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt. So steht z = -1,5 für einen Wert eineinhalb Standardabweichungen unter dem Mittelwert, was etwa dem 6,68. Perzentil einer Normalverteilung entspricht.
Setzen z-Werte eine Normalverteilung voraus?
Der z-Wert selbst — der Abstand zum Mittelwert in Einheiten der Standardabweichung — ist für jede Verteilung definiert. Die Umrechnung eines z-Werts in ein Perzentil über die Standardnormalverteilung, wie dieser Rechner sie vornimmt, ist jedoch nur bei annähernd normalverteilten Daten genau. Bei schiefen Daten sollten Perzentile direkt aus den Daten bestimmt werden.
Wie genau ist das angezeigte Perzentil?
Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung besitzt keine exakte geschlossene Darstellung, daher verwendet dieser Rechner die rationale Näherung 7.1.26 von Abramowitz und Stegun (1964), deren absoluter Fehler unter 7,5 x 10^-8 liegt — weit genauer als die zwei angezeigten Nachkommastellen.
Quellenangaben
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).