Ihre Standardabweichung verstehen
Für annähernd normalverteilte (glockenförmige) Daten beschreibt die empirische Regel, welcher Anteil der Daten innerhalb einer bestimmten Zahl von Standardabweichungen um den Mittelwert liegt.
| Intervall um den Mittelwert | Ungefährer Datenanteil (Normalverteilung) |
|---|---|
| Innerhalb 1 Standardabweichung | Etwa 68 % |
| Innerhalb 2 Standardabweichungen | Etwa 95 % |
| Innerhalb 3 Standardabweichungen | Etwa 99,7 % |
- Die empirische 68-95-99,7-Regel gilt für annähernd normalverteilte Daten; stark schiefe oder endlastige Daten können erheblich von diesen Anteilen abweichen.
- Verwenden Sie die Stichprobenform (n - 1), wenn die Daten eine Stichprobe sind, aus der auf eine größere Grundgesamtheit geschlossen wird; die Populationsform (n) nur dann, wenn der Datensatz die gesamte interessierende Grundgesamtheit umfasst.
- Die Standardabweichung reagiert empfindlich auf Ausreißer, da die Abweichungen quadriert werden; ein einziger Extremwert kann sie deutlich aufblähen.
- Dieser Rechner benötigt mindestens zwei Werte, da sich die Streuung aus einer einzelnen Beobachtung nicht schätzen lässt.
Was ist die Standardabweichung?
Die Standardabweichung beziffert den typischen Abstand der Datenwerte von ihrem Mittelwert. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass sich die Werte eng um den Mittelwert gruppieren; eine große, dass sie weit streuen. Sie wird in denselben Einheiten wie die Daten angegeben, was sie leichter interpretierbar macht als die Varianz (ihr Quadrat).
Der entscheidende Lernpunkt ist die Unterscheidung zwischen Stichproben- und Populationsform. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit (sigma) teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch n und ist nur dann korrekt, wenn der Datensatz die gesamte interessierende Grundgesamtheit umfasst — etwa die Prüfungsergebnisse aller Schülerinnen und Schüler einer bestimmten Klasse. Die Standardabweichung der Stichprobe (s) teilt stattdessen durch n - 1 und ist korrekt, wenn die Daten eine Stichprobe sind, mit der die Streuung einer größeren Grundgesamtheit geschätzt wird.
Die Division durch n - 1 ist als Bessel-Korrektur bekannt. Da der Stichprobenmittelwert aus denselben Daten berechnet wird, fallen die Abweichungen um ihn herum systematisch etwas kleiner aus als die Abweichungen um den wahren (unbekannten) Mittelwert der Grundgesamtheit; die Division durch n - 1 statt durch n gleicht dies aus und macht die Stichprobenvarianz zu einem erwartungstreuen Schätzer der Varianz der Grundgesamtheit. Die Korrektur wirkt sich vor allem bei kleinen Stichproben aus und wird mit wachsendem n vernachlässigbar.
So verwenden Sie diesen Standardabweichungsrechner
- Geben Sie mindestens zwei durch ; getrennte Zahlen ein, zum Beispiel: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16.
- Lesen Sie die Standardabweichung der Stichprobe (s) ab, wenn Ihre Daten eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit sind — der Regelfall bei Umfragen, Experimenten und Qualitätsprüfungen.
- Lesen Sie die Standardabweichung der Grundgesamtheit (sigma) ab, wenn Ihre Daten die vollständige interessierende Grundgesamtheit bilden.
- Nutzen Sie Mittelwert, Stichprobenvarianz und Anzahl, um die Berechnung zu prüfen oder sie in weitere Analysen wie Konfidenzintervalle und z-Werte zu übernehmen.
Formeln der Standardabweichung
Beide Formen beginnen gleich: Mittelwert berechnen, ihn von jedem Wert abziehen, jede Abweichung quadrieren und die Quadrate summieren. Die Populationsform teilt diese Summe durch n und zieht die Quadratwurzel; die Stichprobenform teilt durch n - 1 und zieht die Quadratwurzel.
Rechenbeispiel: die Werte 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Schritt 1 — Mittelwert: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Schritt 2 — quadrierte Abweichungen: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, in der Summe 32. Schritt 3 (Grundgesamtheit) — 32 / 8 = 4, und √4 = 2. Schritt 4 (Stichprobe) — 32 / 7 = 4,571429 (die Stichprobenvarianz), und √4,571429 = 2,13809 (gerundet).
Der Stichprobenwert ist bei denselben Daten stets etwas größer als der Populationswert, da durch eine kleinere Zahl geteilt wird — es sei denn, alle Werte sind identisch, dann sind beide null. Der Abstand schrumpft, je größer die Stichprobe wird.
Häufige Fehler
- Die Populationsformel (Division durch n) auf Stichprobendaten anwenden — dies unterschätzt die Streuung der zugrunde liegenden Grundgesamtheit systematisch; bei Stichproben ist durch n - 1 zu teilen.
- Varianz mit Standardabweichung verwechseln: Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung und wird in quadrierten Einheiten angegeben.
- Die 68-95-99,7-Regel auf Daten anwenden, die deutlich schief oder endlastig sind und für die sie nicht gilt.
- Standardabweichungen von Datensätzen mit unterschiedlichen Einheiten oder sehr verschiedenen Größenordnungen ohne Standardisierung vergleichen (für die relative Streuung teilt der Variationskoeffizient durch den Mittelwert).
Häufig gestellte Fragen
Worin unterscheiden sich die Standardabweichungen von Stichprobe und Grundgesamtheit?
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch n und ist korrekt, wenn Ihre Daten die gesamte Grundgesamtheit bilden. Die Standardabweichung der Stichprobe teilt durch n - 1 (Bessel-Korrektur) und ist korrekt, wenn Ihre Daten eine Stichprobe sind, mit der die Streuung einer größeren Grundgesamtheit geschätzt wird. Bei denselben Daten ist der Stichprobenwert stets etwas größer (beide sind null, wenn alle Werte identisch sind); der Unterschied verschwindet, je größer die Stichprobe wird.
Warum wird durch n - 1 statt durch n geteilt?
Da der Stichprobenmittelwert aus denselben Daten berechnet wird, fallen die beobachteten Abweichungen um ihn herum systematisch etwas kleiner aus als die Abweichungen um den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit. Die Division durch n - 1 statt durch n gleicht diese Verzerrung aus und macht die Stichprobenvarianz zu einem erwartungstreuen Schätzer der Varianz der Grundgesamtheit. Diese Anpassung heißt Bessel-Korrektur.
Wie berechne ich die Standardabweichung von Hand?
Bestimmen Sie zunächst den Mittelwert. Ziehen Sie ihn dann von jedem Wert ab, quadrieren Sie jedes Ergebnis und addieren Sie die Quadrate. Für eine Stichprobe teilen Sie diese Summe durch n - 1, für eine Grundgesamtheit durch n. Ziehen Sie abschließend die Quadratwurzel. Beispiel: Für 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 beträgt der Mittelwert 5, die quadrierten Abweichungen summieren sich zu 32, und die Standardabweichung der Stichprobe ist √(32 / 7) = 2,138 (gerundet).
Was bedeutet eine Standardabweichung von 0?
Sie bedeutet, dass jeder Wert des Datensatzes identisch ist — es gibt überhaupt keine Streuung. Je größer die Standardabweichung, desto stärker weichen die Werte typischerweise vom Mittelwert ab. Die Standardabweichung kann niemals negativ sein.
Was besagt die 68-95-99,7-Regel?
Bei annähernd normalverteilten (glockenförmigen) Daten liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von zweien und etwa 99,7 % innerhalb von dreien. Die Regel erlaubt eine rasche Einschätzung, ob eine Beobachtung ungewöhnlich ist, ist aber nur verlässlich, wenn die Verteilung annähernd normal ist.
Sind Varianz und Standardabweichung dasselbe?
Nein. Die Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, die Standardabweichung ist ihre Quadratwurzel. Die Varianz wird in quadrierten Einheiten angegeben (etwa cm^2 bei Daten in cm), weshalb zur Beschreibung der Streuung üblicherweise die Standardabweichung — in den ursprünglichen Einheiten — genannt wird.
Quellenangaben
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.