Die vier Ergebnisse verstehen
Die folgende Tabelle zeigt jede Ausgabe für das Beispiel P(A) = 50 %, P(B) = 30 % unter der Annahme der Unabhängigkeit.
| Ausgang | Formel | Beispielwert |
|---|---|---|
| A und B beide | P(A) x P(B) | 0,5 x 0,3 = 15 % |
| Mindestens eines (A oder B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0,5 + 0,3 - 0,15 = 65 % |
| A tritt nicht ein | 1 - P(A) | 1 - 0,5 = 50 % |
| Keines tritt ein | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0,5 x 0,7 = 35 % |
- Alle Ergebnisse setzen voraus, dass A und B unabhängig sind. Beeinflussen sich die Ereignisse gegenseitig (abhängige Ereignisse), gelten diese Formeln nicht und es sind bedingte Wahrscheinlichkeiten erforderlich.
- »Mindestens eines tritt ein« und »keines tritt ein« sind komplementär: Ihre Wahrscheinlichkeiten summieren sich stets zu 100 %.
- Wahrscheinlichkeiten beschreiben langfristige Häufigkeiten über viele Wiederholungen; eine Chance von 15 % bedeutet nicht, dass das Ereignis in genau 15 der nächsten 100 Versuche eintritt.
Was ist die Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse?
Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (bzw. zwischen 0 % und 100 %), die ausdrückt, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist: 0 bedeutet unmöglich, 1 bedeutet sicher. Betrachtet man zwei Ereignisse gemeinsam, legen die Standardregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung fest, wie sich ihre Einzelwahrscheinlichkeiten zur Wahrscheinlichkeit gemeinsamer Ausgänge verbinden, etwa »beide treten ein« oder »mindestens eines tritt ein«.
Dieser Rechner setzt voraus, dass die beiden Ereignisse unabhängig sind: Zu wissen, dass das eine eingetreten ist, sagt nichts darüber aus, ob das andere eintritt. Münzwürfe, getrennte Würfelwürfe und voneinander unabhängige Ziehungen sind klassische Beispiele für Unabhängigkeit. Unter Unabhängigkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, schlicht das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten: P(A und B) = P(A) x P(B).
Die Unabhängigkeitsannahme ist wesentlich und muss an der tatsächlichen Situation geprüft und nicht stillschweigend vorausgesetzt werden. Zwei Karten ohne Zurücklegen aus demselben Stapel zu ziehen oder zwei Wetterereignisse am selben Tag sind abhängig — der erste Ausgang verändert die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten —, und die Produktregel unter- oder überschätzt dann die tatsächliche gemeinsame Wahrscheinlichkeit. Für abhängige Ereignisse sind bedingte Wahrscheinlichkeiten erforderlich: P(A und B) = P(A) x P(B unter der Bedingung A).
So verwenden Sie diesen Wahrscheinlichkeitsrechner
- Geben Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A als Prozentwert zwischen 0 und 100 ein, etwa 50 für »Kopf« bei einer fairen Münze.
- Geben Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B als Prozentwert ein, zum Beispiel 30.
- Vergewissern Sie sich, dass die beiden Ereignisse tatsächlich unabhängig sind — das Eintreten des einen darf die Chance des anderen nicht verändern. Die hier verwendeten Formeln gelten nur unter dieser Annahme.
- Lesen Sie die vier verknüpften Wahrscheinlichkeiten ab: beide treten ein, mindestens eines tritt ein, A tritt nicht ein und keines tritt ein.
Wahrscheinlichkeitsregeln für unabhängige Ereignisse
Multiplikationsregel (beide treten ein): Für unabhängige Ereignisse gilt P(A und B) = P(A) x P(B). Komplementregel: P(nicht A) = 1 - P(A). Keines tritt ein: P(keines) = (1 - P(A)) x (1 - P(B)), womit die Multiplikationsregel auf die beiden Gegenereignisse angewandt wird. Mindestens eines tritt ein (Ein- und Ausschlussprinzip): P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B).
Rechenbeispiel mit P(A) = 50 % und P(B) = 30 %, geschrieben als 0,5 und 0,3. Beide: 0,5 x 0,3 = 0,15 = 15 %. Mindestens eines: 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65 = 65 %. Nicht A: 1 - 0,5 = 0,5 = 50 %. Keines: 0,5 x 0,7 = 0,35 = 35 %. Als Plausibilitätsprüfung: »mindestens eines« und »keines« sind Gegenereignisse, daher 65 % + 35 % = 100 %.
Der Abzug von P(A und B) in der Formel für »mindestens eines« verhindert Doppelzählungen: Ausgänge, in denen beide Ereignisse eintreten, würden sonst einmal in P(A) und erneut in P(B) gezählt.
Häufige Fehler
- Wahrscheinlichkeiten für »A oder B« addieren, ohne die Überschneidung abzuziehen: P(A) + P(B) allein zählt Ausgänge doppelt, in denen beide eintreten, und kann sogar 100 % überschreiten.
- Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse multiplizieren, als wären sie unabhängig — das Ziehen von Karten ohne Zurücklegen ist das klassische Gegenbeispiel.
- Der Spielerfehlschluss: unabhängige Versuche so behandeln, als würden frühere Ausgänge künftige Wahrscheinlichkeiten verändern; eine faire Münze, die fünfmal Kopf gezeigt hat, liefert beim nächsten Wurf weiterhin mit 50 % Kopf.
- »Beide treten ein« mit »mindestens eines tritt ein« verwechseln — für P(A) = 50 % und P(B) = 30 % sind das 15 % beziehungsweise 65 %, also sehr unterschiedliche Größen.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet es, dass zwei Ereignisse unabhängig sind?
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert — formal gilt P(A und B) = P(A) x P(B). Getrennte Münzwürfe und voneinander unabhängige Würfelwürfe sind unabhängig; zwei Karten ohne Zurücklegen aus demselben Stapel zu ziehen ist es nicht, da die erste Ziehung die Zusammensetzung des Stapels verändert.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten?
Bei unabhängigen Ereignissen multiplizieren Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten: P(A und B) = P(A) x P(B). Mit P(A) = 50 % und P(B) = 30 % beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, 0,5 x 0,3 = 0,15, also 15 %. Diese Produktregel gilt nur, wenn die Ereignisse unabhängig sind.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Ereignis eintritt?
Verwenden Sie das Ein- und Ausschlussprinzip: P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B). Bei unabhängigen Ereignissen mit 50 % und 30 % ergibt sich 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65, also 65 %. Gleichwertig berechnen Sie 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass keines eintritt: 1 - (0,5 x 0,7) = 0,65.
Warum darf ich für »A oder B« nicht einfach die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren?
Weil Ausgänge, in denen beide Ereignisse eintreten, doppelt gezählt würden — einmal in P(A) und einmal in P(B). Die Addition von 50 % und 30 % ergibt 80 %, die korrekte Antwort für unabhängige Ereignisse lautet jedoch 65 %, sobald die Überschneidung von 15 % abgezogen ist. Einfaches Addieren ist nur bei sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen zulässig, die definitionsgemäß nicht beide eintreten können.
Was gilt, wenn meine Ereignisse nicht unabhängig sind?
Dann gelten diese Formeln nicht. Bei abhängigen Ereignissen nutzt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit eine bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A und B) = P(A) x P(B unter der Bedingung A), wobei P(B unter der Bedingung A) die Wahrscheinlichkeit von B ist, sobald A bekanntermaßen eingetreten ist. So beträgt die Chance, aus einem Standardstapel ohne Zurücklegen zwei Asse zu ziehen, (4/52) x (3/51) und nicht (4/52) x (4/52).
Quellenangaben
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.