Ihren Durchschnitt verstehen
Das Mittel ist eines von mehreren Lagemaßen. Die folgende Tabelle vergleicht sie anhand der Beispieldaten 12, 15, 18, 22, 9.
| Maß | Wert für 12, 15, 18, 22, 9 | Anmerkungen |
|---|---|---|
| Mittelwert (Durchschnitt) | 15,2 | Summe / Anzahl; nutzt jeden Wert; empfindlich gegenüber Ausreißern |
| Median | 15 | Mittlerer Wert der sortierten Liste 9, 12, 15, 18, 22 |
| Minimum | 9 | Kleinster Wert |
| Maximum | 22 | Größter Wert |
| Spannweite | 13 | Maximum minus Minimum; ein einfaches Streuungsmaß |
- Das Mittel reagiert empfindlich auf Extremwerte: Eine einzelne sehr große oder sehr kleine Zahl kann es deutlich verschieben. Vergleichen Sie Mittel und Median, um Schiefe zu erkennen.
- Das Mittel einer Stichprobe schätzt das Mittel der Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe stammt; wegen der Stichprobenvariation unterscheiden sich beide in der Regel — siehe den Rechner für Konfidenzintervalle.
- Prozentsätze oder Raten zu mitteln ist nur zulässig, wenn sie sich auf dieselbe Basis beziehen; andernfalls ist ein gewichtetes Mittel erforderlich.
Was ist ein Durchschnitt?
Der Durchschnitt — formal das arithmetische Mittel — ist das am weitesten verbreitete Maß für die Mitte eines Datensatzes. Er wird berechnet, indem alle Werte addiert und durch die Anzahl der Werte geteilt werden. Das Mittel bringt die Daten ins Gleichgewicht: Die Abweichungen der Werte oberhalb des Mittels heben die Abweichungen unterhalb genau auf.
Das arithmetische Mittel nutzt jeden einzelnen Wert des Datensatzes, was es effizient, zugleich aber empfindlich gegenüber Ausreißern macht. Ein einziger Extremwert kann das Mittel weit von der Masse der Daten wegziehen — fügt man der Liste 12, 15, 18, 22, 9 etwa den Wert 100 hinzu, steigt der Durchschnitt von 15,2 auf rund 29,3. Bei schiefen Daten wie Einkommen oder Immobilienpreisen wird daher häufig zusätzlich oder stattdessen der Median angegeben.
Das Wort »Durchschnitt« wird umgangssprachlich mitunter für andere Lagemaße verwendet, darunter der Median (der mittlere Wert) und der Modus (der häufigste Wert). In der Statistikliteratur und in diesem Rechner bezeichnet Durchschnitt das arithmetische Mittel, sofern nichts anderes angegeben ist.
So verwenden Sie diesen Durchschnittsrechner
- Geben Sie Ihre Zahlen durch ; getrennt ein, zum Beispiel: 12; 15; 18; 22; 9. Dezimalzahlen und negative Zahlen sind zulässig.
- Lesen Sie den Durchschnitt (das arithmetische Mittel) ab, also die Summe geteilt durch die Anzahl.
- Prüfen Sie die begleitenden Kennzahlen — Summe, Anzahl, Minimum und Maximum —, um zu bestätigen, dass der Rechner Ihre Liste wie beabsichtigt eingelesen hat.
- Zur Kontrolle von Hand addieren Sie alle Werte und teilen die Summe durch die Anzahl der eingegebenen Werte.
Die Formel für den Durchschnitt
Das arithmetische Mittel von n Werten x1, x2, ..., xn ist ihre Summe geteilt durch n.
Rechenbeispiel: die Werte 12, 15, 18, 22, 9. Schritt 1 — addieren: 12 + 15 + 18 + 22 + 9 = 76. Schritt 2 — zählen: n = 5. Schritt 3 — teilen: 76 / 5 = 15,2. Der Durchschnitt beträgt 15,2.
Das Mittel liegt stets zwischen Minimum und Maximum der Daten. Es entspricht dem Wert, den jede Beobachtung annehmen würde, wenn die Gesamtsumme gleichmäßig aufgeteilt würde — 76 gleichmäßig auf 5 verteilt ergibt je 15,2.
Häufige Fehler
- Mittelwerte ohne Gewichtung mitteln: Das Mittel zweier Gruppenmittel entspricht nur dann dem Gesamtmittel, wenn beide Gruppen gleich groß sind.
- Das Mittel bei stark schiefen Daten verwenden (Einkommen, Immobilienpreise), bei denen wenige große Werte dominieren — der Median ist dort meist repräsentativer.
- Beim Zählen von n einen Wert vergessen — der Divisor muss genau der Anzahl der summierten Werte entsprechen.
- Raten wie Geschwindigkeiten über gleiche Strecken mit dem arithmetischen Mittel mitteln — in diesem Fall ist das harmonische Mittel erforderlich (siehe Mittelwertrechner).
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich einen Durchschnitt?
Addieren Sie alle Zahlen und teilen Sie die Summe durch die Anzahl der Zahlen. Für 12, 15, 18, 22 und 9 beträgt die Summe 76 bei 5 Zahlen, der Durchschnitt ist also 76 / 5 = 15,2.
Worin unterscheiden sich Durchschnitt, Mittelwert und Median?
Im alltäglichen Sprachgebrauch meint »Durchschnitt« meist das arithmetische Mittel: die Summe geteilt durch die Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten, der Modus der häufigste Wert. Alle drei sind Lagemaße, können sich aber deutlich unterscheiden, wenn die Daten schief verteilt sind oder Ausreißer enthalten.
Wann ist der Durchschnitt irreführend?
Wenn die Daten schief verteilt sind oder Ausreißer enthalten. Da das arithmetische Mittel jeden Wert einbezieht, kann eine einzelne extreme Beobachtung es weit von dort wegziehen, wo die meisten Daten liegen. So wird das mittlere Einkommen einer Gruppe von einem einzigen Spitzenverdiener nach oben gezogen, während der Median unberührt bleibt. Beide Maße gemeinsam anzugeben, liefert ein vollständigeres Bild.
Kann ein Durchschnitt eine Zahl sein, die in der Liste nicht vorkommt?
Ja, und meist ist er das auch. Der Durchschnitt von 12, 15, 18, 22 und 9 beträgt 15,2 und taucht in der Liste nicht auf. Das Mittel ist ein Gleichgewichtspunkt der Daten und nicht zwingend ein beobachteter Wert — die durchschnittliche Kinderzahl je Familie von 1,9 ist das klassische Beispiel.
Wie wirken sich Ausreißer auf den Durchschnitt aus?
Jeder Wert trägt gleichermaßen zur Summe bei, daher zieht ein weit entfernter Wert das Mittel zu sich hin. Fügt man der Liste 12, 15, 18, 22, 9 den Wert 100 hinzu, ändert sich das Mittel von 15,2 auf (76 + 100) / 6 = 29,33 (gerundet). Der Median verschiebt sich weit weniger, weshalb er bei ausreißeranfälligen Daten bevorzugt wird.
Quellenangaben
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standard coverage of the arithmetic mean).
- Weisstein, Eric W. "Arithmetic Mean." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.