Zwei Formeln, ein kleiner, aber wichtiger Unterschied
Beide Formeln für die Standardabweichung beginnen identisch: Man berechnet den Mittelwert der Daten, zieht ihn von jedem Wert ab, quadriert jede Abweichung und addiert die Quadrate. Der Unterschied liegt im letzten Divisionsschritt. Die Populationsstandardabweichung, bezeichnet mit dem griechischen Buchstaben Sigma, teilt diese Summe der quadrierten Abweichungen durch n, die Gesamtzahl der Werte, und zieht dann die Quadratwurzel. Die Stichprobenstandardabweichung, bezeichnet mit s, teilt dieselbe Summe stattdessen durch n - 1 und zieht ebenfalls die Quadratwurzel -- eine Änderung, die als Bessel-Korrektur bekannt ist.
Da n - 1 stets ein kleinerer Divisor ist als n (für n größer als 1), ist die Stichprobenstandardabweichung stets etwas größer als die aus denselben Zahlen berechnete Populationsstandardabweichung. Die beiden Formeln sind keine konkurrierenden Methoden zur Beantwortung derselben Frage; sie beantworten zwei unterschiedliche Fragen zu denselben Daten, und die Wahl der falschen Formel erzeugt eine systematisch verzerrte Antwort auf die Frage, die man eigentlich stellen wollte.
Rechenbeispiel: dieselben acht Zahlen, zwei Antworten
Betrachten Sie den Datensatz 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). Schritt 1: Der Mittelwert ist (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Schritt 2: Die Abweichungen vom Mittelwert sind -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, und das Quadrieren jeder Abweichung ergibt 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, was in der Summe 32 ergibt. Von dieser einen Summe der quadrierten Abweichungen ausgehend unterscheiden sich die beiden Formeln erst im letzten Divisionsschritt.
Populationsstandardabweichung: 32 wird durch n = 8 geteilt, was eine Populationsvarianz von 4 ergibt, und die Quadratwurzel von 4 ist genau 2. Stichprobenstandardabweichung: Dieselbe 32 wird durch n - 1 = 7 geteilt, was eine Stichprobenvarianz von 32 / 7 = 4,571429 (auf sechs Stellen gerundet) ergibt, und die Quadratwurzel von 4,571429 ist etwa 2,13809. Die folgende Tabelle stellt beide Berechnungen ausgehend von derselben Anfangssumme gegenüber.
| Schritt | Populationsform (Division durch n) | Stichprobenform (Division durch n - 1) |
|---|---|---|
| Summe der quadrierten Abweichungen | 32 | 32 |
| Divisor | n = 8 | n - 1 = 7 |
| Varianz | 32 / 8 = 4 | 32 / 7 = 4,571429 |
| Standardabweichung | sqrt(4) = 2 | sqrt(4,571429) = 2,13809 |
Warum durch n - 1 teilen? Die Bessel-Korrektur erklärt
Der Stichprobenmittelwert, der bei der Berechnung der Abweichungen verwendet wird, ist selbst aus denselben Daten berechnet, deren Streuung gemessen wird, und ist mathematisch garantiert der Wert, der die Summe der quadrierten Abweichungen für diese spezifische Stichprobe minimiert. Das bedeutet, dass die um einen Stichprobenmittelwert gemessenen quadrierten Abweichungen im Durchschnitt etwas kleiner sind als die Abweichungen, die um den wahren, unbekannten Populationsmittelwert gemessen würden -- die alleinige Division durch n unterschätzt daher bei der Arbeit mit einer Stichprobe systematisch die Populationsvarianz.
Die Division durch n - 1 statt durch n vergrößert das Ergebnis gerade so weit, dass diese systematische Unterschätzung im Durchschnitt korrigiert wird, wodurch die Stichprobenvarianz über wiederholte Stichprobenziehungen hinweg zu einem erwartungstreuen Schätzer der Populationsvarianz wird. Die Korrektur ist nach dem Astronomen und Mathematiker Friedrich Bessel aus dem 19. Jahrhundert benannt. Ihre Wirkung ist bei kleinen Stichproben am größten -- für n = 8 unterscheiden sich die Divisoren 8 und 7 um 12,5% -- und schrumpft mit wachsendem n in den Hundert- oder Tausenderbereich auf ein vernachlässigbares Maß, da n und n - 1 proportional konvergieren.
Haben Sie eine Population oder eine Stichprobe?
Verwenden Sie die Populationsstandardabweichung (Division durch n) nur dann, wenn Ihr Datensatz die gesamte Gruppe ist, die Sie interessiert, ohne die Absicht, darüber hinaus zu verallgemeinern -- zum Beispiel das Alter jedes Spielers in einem bestimmten Sportteam oder die Prüfungsergebnisse jedes Schülers einer bestimmten Klasse, wenn die Fragestellung sich ausschließlich auf dieses Team oder diese Klasse bezieht und nichts Weitergehendes.
Verwenden Sie die Stichprobenstandardabweichung (Division durch n - 1), wann immer Ihre Daten eine Teilmenge sind, die aus einer größeren Population gezogen wurde oder diese repräsentieren soll, über die Sie Schlussfolgerungen ziehen wollen -- zum Beispiel eine Umfrage unter 500 Kunden zur Schätzung der Zufriedenheit aller Kunden, die Teilnehmer einer klinischen Studie zur Schätzung eines Effekts in der breiteren Patientenpopulation, oder eine Reihe von Qualitätskontrollmessungen zur Charakterisierung einer gesamten Produktionslinie. Dies ist die weitaus häufigere Situation in der angewandten Statistik, weshalb die meisten Statistikprogramme standardmäßig die Stichprobenformel (n - 1) verwenden, sofern nicht anders angegeben.
Wie stark wirkt sich die Wahl tatsächlich aus?
Bei sehr kleinen Stichproben ist der Abstand zwischen den beiden Formeln proportional groß, und eine falsche Wahl kann nachgelagerte Ergebnisse spürbar verzerren, einschließlich Konfidenzintervallen und Z-Werten, die direkt auf der Standardabweichung aufbauen. Für das obige Beispiel mit n = 8 ist der Stichprobenwert (2,13809) etwa 6,9% größer als der Populationswert (2), ein Abstand, der groß genug ist, um die Breite eines Konfidenzintervalls um einen ähnlichen Betrag zu verschieben.
Mit zunehmendem Stichprobenumfang rücken n und n - 1 proportional näher zusammen, und die beiden Standardabweichungen konvergieren: Bei einer Stichprobe von 1.000 ändert die Division durch 999 statt durch 1.000 das Ergebnis nur um etwa 0,05%. Bei großen Stichproben ändert die Wahl selten die praktischen Schlussfolgerungen, doch die korrekte Konvention sollte dennoch angewandt werden -- sowohl aus Konsistenzgründen mit der üblichen statistischen Praxis als auch weil gerade Fälle mit kleinen Stichproben, bei denen der Unterschied am stärksten ins Gewicht fällt, diejenigen sind, bei denen es besonders auf Korrektheit ankommt.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Stichproben- und Populationsstandardabweichung?
Die Populationsstandardabweichung teilt die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert durch n (die Anzahl der Werte) und ist korrekt, wenn der Datensatz die gesamte interessierende Population darstellt. Die Stichprobenstandardabweichung teilt dieselbe Summe stattdessen durch n - 1 und ist korrekt, wenn die Daten eine Stichprobe sind, die zur Schätzung einer größeren Population dient. Bei identischen Daten ist der Stichprobenwert stets etwas größer als der Populationswert, weil er durch eine kleinere Zahl geteilt wird.
Warum teilt man bei einer Stichprobe durch n - 1?
Weil der Stichprobenmittelwert aus denselben Daten berechnet wird, mit denen die Streuung gemessen wird, ist er mathematisch der Wert, der die Summe der quadrierten Abweichungen für diese Stichprobe minimiert, wodurch diese Abweichungen systematisch etwas kleiner ausfallen als Abweichungen um den wahren Populationsmittelwert. Die Division durch n - 1 statt durch n, eine als Bessel-Korrektur bekannte Anpassung, gleicht dies aus und macht die Stichprobenvarianz zu einem erwartungstreuen Schätzer der Populationsvarianz.
Welche sollte ich für eine Umfrage oder ein Experiment verwenden?
Verwenden Sie die Stichprobenstandardabweichung (n - 1), wann immer Ihre Daten eine Teilmenge sind, die eine größere Population repräsentieren soll -- was auf die große Mehrheit von Umfragen, Experimenten und Qualitätskontrollstichproben zutrifft. Verwenden Sie die Populationsstandardabweichung (n) nur dann, wenn Ihr Datensatz die vollständige Gruppe ist, die Sie untersuchen, ohne die Absicht, auf etwas darüber hinaus zu verallgemeinern.
Wie stark unterscheiden sich die beiden Antworten in der Praxis?
Für das Rechenbeispiel (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9; n = 8) beträgt die Populationsstandardabweichung genau 2 und die Stichprobenstandardabweichung etwa 2,13809, ein Unterschied von rund 6,9%. Die Lücke schrumpft mit wachsendem Stichprobenumfang: Bei n = 1.000 ändert die Division durch 999 statt durch 1.000 das Ergebnis nur um etwa 0,05%, wodurch die Wahl bei großen Stichproben weit weniger folgenreich ist.
Wirkt sich die n-1-Korrektur auch auf den Mittelwert aus?
Nein. Der Mittelwert ist stets die einfache Summe der Werte geteilt durch die Anzahl n, unabhängig davon, ob die Daten eine Stichprobe oder eine Population darstellen; die Bessel-Korrektur betrifft ausschließlich die Berechnung von Standardabweichung und Varianz, nicht den Mittelwert selbst.
Quellenangaben
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.