Ihr Ergebnis zur Binomialverteilung verstehen
Die folgende Tabelle fasst zusammen, wie die einzelnen Berechnungsmodi definiert sind und wann sie jeweils die passende Wahl darstellen.
| Modus | Beantwortete Frage | Formel |
|---|---|---|
| Genau k | Wie wahrscheinlich sind genau k Erfolge? | P(X = k) |
| Höchstens k | Wie wahrscheinlich sind k oder weniger Erfolge? | P(X ≤ k) |
| Mindestens k | Wie wahrscheinlich sind k oder mehr Erfolge? | P(X ≥ k) |
- Eine häufig zitierte Faustregel aus den gängigen Statistiklehrbüchern besagt, dass sich die Binomialverteilung sinnvoll durch eine Normalverteilung annähern lässt, sofern sowohl n × p als auch n × (1 − p) mindestens 5 betragen, wobei eine Stetigkeitskorrektur die Näherung weiter verbessert.
- Das Binomialmodell verlangt unabhängige Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit; das Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen endlichen Grundgesamtheit verletzt die Unabhängigkeit und erfordert stattdessen die hypergeometrische Verteilung.
- k muss eine ganze Zahl zwischen 0 und n einschließlich sein; nicht ganzzahlige oder außerhalb dieses Bereichs liegende Werte für k sind keine gültigen Ausgänge der Binomialverteilung.
- Höchstens k und mindestens k + 1 sind komplementär und ergeben zusammen 100%; gleichbedeutend ergeben höchstens k − 1 und mindestens k zusammen 100%.
Was ist die Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Zahl unabhängiger Versuche (n), die jeweils dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit (p) und je Versuch nur zwei mögliche Ausgänge besitzen, nämlich Erfolg oder Misserfolg. Klassische Beispiele sind die Anzahl der Kopfwürfe bei einer festen Zahl von Münzwürfen oder die Anzahl fehlerhafter Teile in einer festen Stichprobe aus einer Fertigungslinie, sofern die Erfolgswahrscheinlichkeit über die Versuche hinweg konstant bleibt.
Die Verteilung ist diskret: Die Anzahl der Erfolge k kann nur ganzzahlige Werte von 0 bis n annehmen. Ihre Form hängt sowohl von n als auch von p ab; sie ist symmetrisch, wenn p = 0,5 gilt, und wird zunehmend schief, je näher p an 0 oder 1 rückt.
Die beiden bestimmenden Annahmen sind Unabhängigkeit, der Ausgang eines Versuchs beeinflusst also keinen anderen, und eine über alle Versuche konstante Erfolgswahrscheinlichkeit. Werden Versuche ohne Zurücklegen aus einer kleinen, endlichen Grundgesamtheit gezogen, können diese Annahmen verletzt sein, und die verwandte hypergeometrische Verteilung ist dann angemessener.
So verwenden Sie diesen Binomialverteilungs-Rechner
- Geben Sie die Anzahl der Versuche n ein.
- Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch p als Prozentwert ein.
- Geben Sie die Anzahl der Erfolge k ein, eine ganze Zahl von 0 bis n.
- Wählen Sie einen Modus: genau k Erfolge, höchstens k Erfolge oder mindestens k Erfolge, und lesen Sie die resultierende Wahrscheinlichkeit sowie Erwartungswert und Standardabweichung der Verteilung ab.
Die Formel hinter der Binomialwahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge in n Versuchen liefert die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, wobei C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Erfolge unter n Versuchen auszuwählen.
Der Modus für höchstens k summiert diese Wahrscheinlichkeit über alle Ausgänge von 0 bis k; der Modus für mindestens k summiert sie von k bis n, was gleichbedeutend ist mit 1 minus der Wahrscheinlichkeit für höchstens k − 1.
Der Erwartungswert der Verteilung, also die mittlere Anzahl der Erfolge, beträgt n × p, ihre Standardabweichung √(n × p × (1 − p)).
Rechenbeispiel: n = 20 Versuche, p = 50%, genau k = 8 Erfolge. P(X = 8) = C(20, 8) × 0,5⁸ × 0,5¹² ≈ 12,01%. Der Erwartungswert beträgt 20 × 0,5 = 10 und die Standardabweichung √(20 × 0,5 × 0,5) = √5 ≈ 2,2361.
Häufige Fehler
- Die Binomialverteilung für Versuche verwenden, die nicht unabhängig sind oder bei denen sich die Erfolgswahrscheinlichkeit zwischen den Versuchen ändert, etwa beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit.
- Fehler um eins zwischen den Modi: Mindestens 4 ist nicht das Gegenereignis zu höchstens 4; das Gegenereignis zu höchstens 4 ist mindestens 5.
- Die Erfolgswahrscheinlichkeit als Dezimalzahl (0,5) statt als Prozentwert (50) eingeben, obwohl das Eingabefeld einen Prozentwert erwartet.
- Die Binomialverteilung auf ein stetiges Merkmal anwenden oder auf eine Zählung mit mehr als zwei möglichen Ausgängen je Versuch, für die stattdessen ein multinomiales Modell nötig ist.
- Vergessen, dass die Binomialverteilung ein über alle n Versuche konstantes p voraussetzt; eine im Zeitverlauf driftende Wahrscheinlichkeit macht das Modell ungültig.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich eine Binomialwahrscheinlichkeit?
Verwenden Sie P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, wobei n die Anzahl der Versuche, p die Erfolgswahrscheinlichkeit und C(n, k) die Anzahl der Anordnungen von k Erfolgen unter n Versuchen bezeichnet. Für höchstens oder mindestens summieren Sie diese Formel über den jeweils relevanten Bereich der k-Werte.
Welche Bedingungen müssen für die Binomialverteilung erfüllt sein?
Es muss eine feste Anzahl von Versuchen (n) geben, jeder Versuch darf nur zwei mögliche Ausgänge haben (Erfolg oder Misserfolg), die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) muss über die Versuche hinweg konstant bleiben, und die Versuche müssen voneinander unabhängig sein.
Wie viele Erfolge sind zu erwarten?
Der Erwartungswert der Binomialverteilung beträgt n × p. Bei 20 Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 50% liegt die erwartete Anzahl der Erfolge beispielsweise bei 20 × 0,5 = 10.
Was ist der Unterschied zwischen genau, höchstens und mindestens?
Genau k ist die Wahrscheinlichkeit für exakt k Erfolge. Höchstens k summiert die Wahrscheinlichkeiten für 0 bis k Erfolge. Mindestens k summiert die Wahrscheinlichkeiten für k bis n Erfolge und entspricht 1 minus der Wahrscheinlichkeit für höchstens k − 1 Erfolge.
Wann darf eine Normalverteilung die Binomialverteilung annähern?
Eine verbreitete Faustregel lautet, dass die Näherung vertretbar ist, sofern sowohl n × p als auch n × (1 − p) mindestens 5 betragen. Außerhalb dieses Bereichs, insbesondere bei kleinem n oder bei p weit entfernt von 0,5, ist die exakte binomiale Berechnung verlässlicher.
Quellenangaben
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).