Ihre erforderliche Stichprobengröße verstehen
Die folgende Tabelle zeigt die erforderlichen Stichprobengrößen (unbegrenzte Grundgesamtheit, p = 0,5) für gängige Konfidenzniveaus und Fehlermargen, berechnet nach Cochrans Formel.
| Konfidenzniveau | Fehlermarge 5 % | Fehlermarge 3 % |
|---|---|---|
| 90 % (z = 1,6449) | 271 | 752 |
| 95 % (z = 1,96) | 385 | 1.068 |
| 99 % (z = 2,5758) | 664 | 1.843 |
- Diese Zahlen setzen eine einfache Zufallsstichprobe und das konservative p = 0,5 voraus. Liegt eine verlässliche Vorabschätzung des Anteils vor, kann die erforderliche Stichprobe kleiner ausfallen.
- Die Berechnung erfasst ausschließlich den Stichprobenfehler. Ausfallverzerrungen, schlecht formulierte Fragen und nicht repräsentative Auswahlgrundlagen lassen sich nicht durch eine größere Stichprobe beheben.
- Die Fehlermarge zu halbieren, vervierfacht die erforderliche Stichprobengröße annähernd, da e quadriert in die Formel eingeht.
- Bei sehr kleinen Grundgesamtheiten kann die Endlichkeitskorrektur die erforderliche Stichprobe erheblich verringern; im Grenzfall nähert sich die Stichprobe der gesamten Grundgesamtheit an (Vollerhebung).
Was ist eine Stichprobengrößenberechnung?
Eine Stichprobengrößenberechnung beantwortet die Frage, wie viele Personen (oder Objekte) gemessen werden müssen, damit eine Stichprobenkennzahl — typischerweise ein Anteil, etwa der Anteil zufriedener Kundinnen und Kunden — den Wert der Grundgesamtheit bis auf eine angegebene Fehlermarge und bei einem angegebenen Konfidenzniveau schätzt. Mehr zu erheben als nötig verschwendet Ressourcen; weniger zu erheben liefert Schätzungen, die zu ungenau sind, um nützlich zu sein.
Die Fehlermarge ist die halbe Breite des Konfidenzintervalls um die Schätzung: Eine Marge von 5 % bedeutet, dass der wahre Anteil der Grundgesamtheit voraussichtlich innerhalb von 5 Prozentpunkten um die Stichprobenschätzung liegt. Das Konfidenzniveau (üblicherweise 90 %, 95 % oder 99 %) beschreibt, wie oft so konstruierte Intervalle den wahren Wert bei wiederholter Stichprobenziehung erfassen. Sowohl eine höhere Konfidenz als auch eine kleinere Marge erfordern eine größere Stichprobe.
Dieser Rechner verwendet die Formel aus William G. Cochrans Sampling Techniques (3. Auflage, 1977) mit p = 0,5, jenem Wert des Populationsanteils, der die erforderliche Stichprobengröße maximiert. p = 0,5 zu verwenden, ist die übliche konservative Wahl, solange der wahre Anteil unbekannt ist: Die resultierende Stichprobe reicht aus, gleich welcher Anteil sich tatsächlich ergibt. Ist die Grundgesamtheit endlich und bekannt, verringert die Endlichkeitskorrektur die erforderliche Stichprobe, da die Erhebung eines nennenswerten Anteils einer kleinen Grundgesamtheit mehr Information je Befragtem liefert.
So verwenden Sie diesen Stichprobengrößenrechner
- Geben Sie die Größe der Grundgesamtheit ein — die Gesamtzahl der untersuchten Personen oder Objekte. Geben Sie 0 ein, wenn die Grundgesamtheit praktisch unbegrenzt oder unbekannt ist.
- Wählen Sie das Konfidenzniveau: 90 %, 95 % oder 99 %. In der Umfrageforschung sind 95 % am gebräuchlichsten.
- Geben Sie die Fehlermarge als Prozentwert ein, üblich sind 5 % oder 3 %. Kleinere Margen verlangen erheblich größere Stichproben.
- Lesen Sie die erforderliche Stichprobengröße ab (mit Endlichkeitskorrektur, sofern eine Grundgesamtheit angegeben wurde) sowie den unkorrigierten Wert für eine unbegrenzte Grundgesamtheit. Planen Sie zusätzliche Rekrutierung ein, um erwartete Ausfälle auszugleichen.
Die Formel von Cochran und die Endlichkeitskorrektur
Cochrans Formel zur Schätzung eines Anteils lautet n0 = z^2 x p(1 - p) / e^2, wobei z der kritische Wert der Standardnormalverteilung zum Konfidenzniveau ist (1,6449 für 90 %, 1,96 für 95 %, 2,5758 für 99 %), p der angenommene Populationsanteil und e die Fehlermarge als Dezimalzahl. Mit der konservativen Wahl p = 0,5 nimmt der Term p(1 - p) seinen Maximalwert von 0,25 an.
Rechenbeispiel bei 95 % Konfidenz und einer Marge von 5 %: n0 = (1,96^2 x 0,25) / 0,05^2 = (3,8416 x 0,25) / 0,0025 = 0,9604 / 0,0025 = 384,16, aufgerundet also 385 Befragte bei unbegrenzter Grundgesamtheit.
Für eine endliche Grundgesamtheit der Größe N lautet die Korrektur n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N). Setzt man das Beispiel mit N = 10.000 fort: n = 384,16 / (1 + 383,16 / 10000) = 384,16 / 1,0383 = 369,98, aufgerundet also 370 Befragte. Stichprobengrößen werden stets aufgerundet, da sich kein Bruchteil eines Befragten befragen lässt.
Häufige Fehler
- Fehlermarge und Konfidenzniveau verwechseln — die Marge (etwa 5 %) ist die halbe Intervallbreite; das Konfidenzniveau (etwa 95 %) gibt an, wie oft solche Intervalle den wahren Wert erfassen.
- Glauben, die erforderliche Stichprobe wachse mit der Größe der Grundgesamtheit: Bei großen Grundgesamtheiten ändert sie sich kaum, weshalb bei 95 % und 5 % Marge 385 Befragte genügen, ob die Grundgesamtheit nun 100.000 oder 100 Millionen umfasst.
- Ausfälle ignorieren: Die Formel liefert die Zahl der benötigten vollständigen Antworten, sodass die Rekrutierung diese Zahl um die erwartete Ausfallquote übersteigen muss.
- Erwarten, eine größere Stichprobe behebe Verzerrungen — die Stichprobengröße steuert den zufälligen Stichprobenfehler, nicht die systematische Verzerrung durch eine nicht repräsentative Auswahl.
Häufig gestellte Fragen
Wie viele Befragte benötige ich bei 95 % Konfidenz und 5 % Fehlermarge?
Bei einer großen oder unbegrenzten Grundgesamtheit 385 Befragte. Cochrans Formel ergibt n0 = (1,96^2 x 0,25) / 0,05^2 = 384,16, aufgerundet 385. Ist die Grundgesamtheit kleiner — etwa 10.000 —, verringert die Endlichkeitskorrektur diesen Wert auf 370.
Was ist die Fehlermarge?
Die Fehlermarge ist die halbe Breite des Konfidenzintervalls um eine Umfrageschätzung. Eine Marge von 5 % bedeutet, dass der wahre Wert der Grundgesamtheit beim angegebenen Konfidenzniveau voraussichtlich innerhalb von 5 Prozentpunkten um die Stichprobenschätzung liegt. Kleinere Margen erfordern größere Stichproben: Die Marge zu halbieren, vervierfacht die Stichprobengröße annähernd.
Warum nimmt der Rechner p = 0,5 an?
Die erforderliche Stichprobengröße hängt über den Term p(1 - p) vom unbekannten Populationsanteil p ab, und dieser Term ist bei p = 0,5 am größten. 0,5 zu verwenden, ist die übliche konservative Konvention nach Cochran (1977): Die resultierende Stichprobe ist groß genug, unabhängig davon, welcher Anteil sich tatsächlich ergibt. Liegt eine belastbare Vorabschätzung von p vor, kann eine kleinere Stichprobe genügen.
Braucht eine größere Grundgesamtheit eine sehr viel größere Stichprobe?
Nein — das ist ein weit verbreitetes Missverständnis. Die unkorrigierte Stichprobengröße hängt überhaupt nicht von der Größe der Grundgesamtheit ab; die Endlichkeitskorrektur verringert die Stichprobe nur dann, wenn die Grundgesamtheit im Verhältnis zur Stichprobe klein ist. Bei 95 % Konfidenz und 5 % Marge genügen rund 385 Befragte für jede große Grundgesamtheit, ob 100.000 oder 100 Millionen.
Was ist die Endlichkeitskorrektur?
Ist die Grundgesamtheit N endlich, liefert das Ziehen ohne Zurücklegen etwas mehr Information je Beobachtung, sodass weniger Befragte nötig sind. Die Korrektur lautet n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N), wobei n0 die unkorrigierte Stichprobengröße ist. Für N = 10.000 bei 95 % und 5 % senkt sie den Bedarf von 385 auf 370; bei sehr großem N ist die Korrektur vernachlässigbar.
Berücksichtigt diese Berechnung Ausfälle?
Nein. Die Formel liefert die Zahl der erforderlichen vollständigen Antworten. Erwarten Sie beispielsweise eine Rücklaufquote von 40 %, müssen Sie rund n / 0,4 Personen einladen, um am Ende n vollständige Antworten zu erhalten. Beachten Sie außerdem, dass Ausfälle eine Verzerrung erzeugen können, die keine noch so große Stichprobe behebt.
Quellenangaben
- Cochran WG. Sampling Techniques, 3rd edition. Wiley, 1977 (sample size for estimating proportions; finite population correction).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.2.2: Sample sizes required. nist.gov.
- Kish L. Survey Sampling. Wiley, 1965 (design effects and practical survey sampling).