Ihr Ergebnis zum Satz von Bayes verstehen
Hält man die Sensitivität bei 95% und die Falsch-positiv-Rate bei 5% fest, zeigt die folgende Tabelle, wie drastisch sich die Posteriori-Wahrscheinlichkeit mit der Priori verändert; genau das ist der Basisrateneffekt im Kern des Satzes von Bayes.
| Priori P(A) | Posteriori P(A | B), bei 95% Sensitivität / 5% Falsch-positiv-Rate |
|---|---|
| 0,1% | ≈ 1,87% |
| 1% | ≈ 16,10% |
| 10% | ≈ 67,86% |
| 50% | ≈ 95,00% |
- Die Posteriori-Wahrscheinlichkeit reagiert sehr empfindlich auf die Priori-Wahrscheinlichkeit, besonders wenn diese klein ist; deshalb dürfen Basisraten bei der Deutung eines positiven Testergebnisses oder anderer neuer Evidenz nicht ausgeblendet werden.
- Die Formel dieses Rechners gilt für eine binäre Aufteilung, also ein Ereignis A und sein Gegenereignis ¬A. Situationen mit mehr als zwei einander ausschließenden Möglichkeiten, etwa mehreren infrage kommenden Diagnosen, verlangen die vollständigere Form des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit über alle Möglichkeiten.
- Die Falsch-positiv-Rate P(B | ¬A) ist nicht dasselbe wie die Spezifität; sie entspricht 1 minus der Spezifität, weshalb ein Test mit einer Spezifität von 95% eine Falsch-positiv-Rate von 5% aufweist.
- Werden Zwischenwahrscheinlichkeiten vor dem Zusammenführen gerundet, kann das die endgültige Posteriori spürbar verzerren, besonders bei kleiner Priori; rechnen Sie daher nach Möglichkeit durchgehend mit voller Genauigkeit.
Was ist der Satz von Bayes?
Der Satz von Bayes ist eine Formel, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (A) nach Beobachtung neuer Evidenz (B) zu aktualisieren, indem eine Priori-Wahrscheinlichkeit damit verbunden wird, wie wahrscheinlich diese Evidenz unter verschiedenen Szenarien ist. Er lautet P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B) und überführt damit die vorwärts gerichtete Wahrscheinlichkeit, etwa wie wahrscheinlich ein positives Testergebnis bei vorliegender Erkrankung ist, in die umgekehrte Wahrscheinlichkeit, die üblicherweise eigentlich interessiert: wie wahrscheinlich die Erkrankung bei positivem Ergebnis ist.
Dieser Rechner verwendet den in der Diagnostik üblichen Rahmen: P(A) ist die Priori-Wahrscheinlichkeit, also die Basisrate der Bedingung in der betrachteten Bevölkerung vor jedem Test; P(B | A) ist die Sensitivität, also die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses, wenn die Bedingung vorliegt; und P(B | ¬A) ist die Falsch-positiv-Rate, also die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses, wenn die Bedingung nicht vorliegt, was 1 minus der Spezifität entspricht.
Der Basisratenfehler ist der verbreitete Irrtum, auf die Sensitivität eines Tests zu schauen und dabei die Priori-Wahrscheinlichkeit auszublenden. Ein Test kann eine hohe Sensitivität und eine niedrige Falsch-positiv-Rate besitzen und dennoch eine Posteriori-Wahrscheinlichkeit weit unter der intuitiven Erwartung liefern, sobald die geprüfte Bedingung in der Bevölkerung selten ist.
So verwenden Sie diesen Rechner zum Satz von Bayes
- Geben Sie die Priori-Wahrscheinlichkeit P(A) als Prozentwert ein, also die Basisrate des Ereignisses oder der Bedingung in der betrachteten Bevölkerung.
- Geben Sie P(B | A) ein, die Sensitivität, also die Wahrscheinlichkeit, die Evidenz zu beobachten, wenn das Ereignis zutrifft.
- Geben Sie P(B | ¬A) ein, die Falsch-positiv-Rate, also die Wahrscheinlichkeit, die Evidenz zu beobachten, wenn das Ereignis nicht zutrifft.
- Lesen Sie die Posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A | B), die Gesamtwahrscheinlichkeit der Evidenz P(B) sowie den Likelihood-Quotienten (Bayes-Faktor) ab, der angibt, um wie viel wahrscheinlicher die Evidenz unter A als unter ¬A ist.
Die Formel hinter dem Satz von Bayes
Der Satz von Bayes entfaltet den Nenner P(B) über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für die beiden Möglichkeiten A und ¬A: P(A | B) = [P(B | A) × P(A)] / [P(B | A) × P(A) + P(B | ¬A) × (1 − P(A))].
Rechenbeispiel: Priori P(A) = 1%, Sensitivität P(B | A) = 95%, Falsch-positiv-Rate P(B | ¬A) = 5%. Zähler: 0,95 × 0,01 = 0,0095. Gesamtwahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses: P(B) = 0,95 × 0,01 + 0,05 × 0,99 = 0,0095 + 0,0495 = 0,059. Posteriori: P(A | B) = 0,0095 / 0,059 ≈ 0,1610, die Posteriori-Wahrscheinlichkeit beträgt also näherungsweise 16,10%. Obwohl der Test 95% der tatsächlichen Fälle richtig erkennt, stammen die meisten positiven Ergebnisse in diesem Szenario aus dem weitaus größeren Kreis derjenigen, bei denen die Bedingung nicht vorliegt.
Der Likelihood-Quotient (Bayes-Faktor) ist P(B | A) / P(B | ¬A). Im Rechenbeispiel ergibt 0,95 / 0,05 = 19, ein positives Ergebnis tritt also 19-mal wahrscheinlicher auf, wenn A zutrifft, als wenn A nicht zutrifft.
Häufige Fehler
- P(B | A), die Sensitivität, mit P(A | B), der Posteriori-Wahrscheinlichkeit, verwechseln; aus einem Ergebnis eines hochsensitiven Tests auf eine hohe Wahrscheinlichkeit zu schließen, die Bedingung tatsächlich zu haben, und dabei die Basisrate auszublenden, ist der klassische Basisratenfehler.
- Die Priori-Wahrscheinlichkeit vollständig ausblenden; ein Test mit 95% Sensitivität und 5% Falsch-positiv-Rate liefert bei einer Priori von 1% dennoch nur eine Posteriori von rund 16%, da die meisten positiven Ergebnisse aus dem weitaus größeren Kreis der richtig Negativen stammen.
- Spezifität und Falsch-positiv-Rate ohne Umrechnung als austauschbar behandeln; dieser Rechner erwartet P(B | ¬A), die Falsch-positiv-Rate, die 1 minus der Spezifität entspricht.
- Die zweigliedrige Formel anwenden, obwohl mehr als zwei einander ausschließende Möglichkeiten bestehen; die einfache Fassung mit A und ¬A gilt nur für eine binäre Aufteilung der Ausgänge.
- Zwischenwahrscheinlichkeiten vor dem Zusammenführen runden, was den Fehler in einer Rechnung verstärkt, die bei niedrigen Basisraten besonders empfindlich auf kleine Änderungen der Priori reagiert.
Häufig gestellte Fragen
Warum kann ein zu 95% genauer Test bei einem positiven Ergebnis meistens danebenliegen?
Ist die zugrunde liegende Bedingung selten, stammen die meisten positiven Ergebnisse aus dem weitaus größeren Kreis derjenigen ohne die Bedingung, die falsch positiv getestet wurden, und nicht aus dem kleinen Kreis derjenigen, die sie tatsächlich haben. Bei einer Priori von 1%, einer Sensitivität von 95% und einer Falsch-positiv-Rate von 5% beträgt die Posteriori-Wahrscheinlichkeit nach einem positiven Ergebnis nur rund 16,10%, obwohl der Test 95% der tatsächlichen Fälle richtig erkennt.
Was ist der Basisratenfehler?
Der Basisratenfehler ist der verbreitete Irrtum, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses angesichts einer Evidenz, etwa eines positiven Tests, vor allem an der Genauigkeit dieser Evidenz zu bemessen und dabei auszublenden, wie selten oder häufig das Ereignis überhaupt ist. Der Satz von Bayes korrigiert das, indem er die Priori-Wahrscheinlichkeit ausdrücklich einbezieht.
Was ist der Unterschied zwischen Sensitivität, Spezifität und Falsch-positiv-Rate?
Die Sensitivität ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses, wenn die Bedingung vorliegt, also P(B | A). Die Spezifität ist die Wahrscheinlichkeit eines negativen Ergebnisses, wenn die Bedingung nicht vorliegt. Die Falsch-positiv-Rate ist das Gegenstück zur Spezifität, also die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses, wenn die Bedingung nicht vorliegt: P(B | ¬A) = 1 − Spezifität.
Was ist ein Bayes-Faktor (Likelihood-Quotient)?
Der Bayes-Faktor oder Likelihood-Quotient ist P(B | A) geteilt durch P(B | ¬A), also um wie viel wahrscheinlicher die beobachtete Evidenz unter A als unter ¬A ist. Im Rechenbeispiel dieser Seite (95% Sensitivität, 5% Falsch-positiv-Rate) beträgt der Bayes-Faktor 19, ein positives Ergebnis ist also 19-mal wahrscheinlicher, wenn die Bedingung vorliegt, als wenn sie nicht vorliegt.
Wie wirkt sich die Priori-Wahrscheinlichkeit auf die Posteriori aus?
Drastisch. Hält man Sensitivität und Falsch-positiv-Rate fest, erzeugt eine niedrigere Priori eine deutlich niedrigere Posteriori, da ein größerer Anteil der positiven Ergebnisse auf falsch positive Befunde unter den vielen richtig Negativen entfällt. Eine Anhebung der Priori von 1% auf 10% (bei festen 95% Sensitivität und 5% Falsch-positiv-Rate) hebt die Posteriori von rund 16,10% auf etwa 67,86%.
Müssen Priori, Sensitivität und Falsch-positiv-Rate zusammen 100% ergeben?
Nein. Es handelt sich um drei getrennte Wahrscheinlichkeiten, die Unterschiedliches beschreiben, nämlich die Basisrate des Ereignisses sowie die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten der Evidenz unter dem jeweiligen Szenario; keine von ihnen muss sich zu einer bestimmten Summe ergänzen.
Quellenangaben
- Bayes T, Price R. An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1763; 53: 370-418.
- Kahneman D, Tversky A. On the psychology of prediction. Psychological Review 1973; 80(4): 237-251 (base-rate neglect in probability judgment).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — probability rules and Bayes' theorem. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (conditional probability and Bayes' rule).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (Bayes' theorem and conditional probability).