Ihr Konfidenzintervall verstehen
Die Breite des Intervalls spiegelt die Genauigkeit der Schätzung wider. Die folgende Tabelle zeigt, wie sich das Intervall für das Beispiel (Mittelwert 50, sd 8, n = 100) mit dem Konfidenzniveau verändert.
| Konfidenzniveau | z-Wert | Fehlermarge | Intervall |
|---|---|---|---|
| 90 % | 1,6449 | 1,316 | 48,684 - 51,316 |
| 95 % | 1,96 | 1,568 | 48,432 - 51,568 |
| 99 % | 2,5758 | 2,061 | 47,939 - 52,061 |
- Höhere Konfidenz erzeugt ein breiteres Intervall: Sicherheit wird mit Genauigkeit erkauft.
- Dies ist ein z-basiertes Intervall. Bei kleinen Stichproben (n unter etwa 30) mit aus den Daten geschätzter Standardabweichung liefert die t-Verteilung nach Student ein genaueres, etwas breiteres Intervall.
- Das Intervall setzt voraus, dass die Stichprobe eine einfache Zufallsstichprobe ist und bei kleinem n die zugrunde liegenden Daten annähernd normalverteilt sind. Eine verzerrte Stichprobenziehung entwertet das Intervall unabhängig von seiner Breite.
- Eine Vervierfachung des Stichprobenumfangs halbiert die Intervallbreite, da der Standardfehler mit 1 / √n skaliert.
Was ist ein Konfidenzintervall?
Ein Konfidenzintervall ist ein aus Stichprobendaten berechneter Bereich, der den wahren Parameter der Grundgesamtheit — hier den Mittelwert der Grundgesamtheit — mit einer angegebenen langfristigen Trefferquote enthalten soll. Ein Konfidenzniveau von 95 % bedeutet: Würde dasselbe Stichprobenverfahren vielfach wiederholt, enthielten etwa 95 % der so konstruierten Intervalle den wahren Mittelwert.
Das Intervall ist um das Stichprobenmittel zentriert und erstreckt sich in beide Richtungen um jeweils eine Fehlermarge. Die Fehlermarge ist der kritische Wert (z) multipliziert mit dem Standardfehler des Mittelwerts, und der Standardfehler ist die Standardabweichung geteilt durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs. Größere Stichproben verkleinern den Standardfehler und damit das Intervall proportional zur Quadratwurzel von n: Eine Vervierfachung des Stichprobenumfangs halbiert die Intervallbreite.
Die korrekte Lesart eines 95-%-Intervalls ist eine Aussage über das Verfahren, nicht über ein einzelnes Intervall: Es ist streng genommen nicht richtig zu sagen, der wahre Mittelwert liege mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % innerhalb genau dieses Intervalls — der wahre Mittelwert ist ein fester Wert, und jedes berechnete Intervall enthält ihn entweder oder nicht. Die 95 % beziehen sich darauf, wie oft die Methode über wiederholte Stichproben hinweg trifft.
So verwenden Sie diesen Konfidenzintervallrechner
- Geben Sie das Stichprobenmittel ein — den Durchschnitt Ihrer gemessenen Werte.
- Geben Sie die Standardabweichung ein. Verwenden Sie die aus Ihren Daten berechnete Standardabweichung der Stichprobe (Form mit n - 1) oder den Wert der Grundgesamtheit, sofern er bekannt ist.
- Geben Sie den Stichprobenumfang n ein (mindestens 2) und wählen Sie ein Konfidenzniveau: 90 %, 95 % oder 99 %.
- Lesen Sie Intervall, Fehlermarge und Standardfehler ab. Beachten Sie, dass bei kleinen Stichproben (üblicherweise n unter 30) mit unbekannter Standardabweichung der Grundgesamtheit ein t-basiertes Intervall etwas breiter und genauer ist.
Die Formel für das Konfidenzintervall
Das z-basierte Intervall für einen Mittelwert lautet: Stichprobenmittel plus/minus z multipliziert mit (Standardabweichung / √n). Die kritischen z-Werte betragen 1,6449 für 90 %, 1,96 für 95 % und 2,5758 für 99 % — jene Punkte der Standardnormalverteilung, die die entsprechende Gesamtwahrscheinlichkeit in den beiden Rändern lassen.
Rechenbeispiel: Mittelwert 50, Standardabweichung 8, n = 100, Konfidenz 95 %. Schritt 1 — Standardfehler: 8 / √100 = 8 / 10 = 0,8. Schritt 2 — Fehlermarge: 1,96 x 0,8 = 1,568. Schritt 3 — Intervall: 50 - 1,568 = 48,432 und 50 + 1,568 = 51,568, das 95-%-Konfidenzintervall reicht also von 48,432 bis 51,568.
Dieser Rechner verwendet die Standardnormalverteilung (z), die angemessen ist, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt oder die Stichprobe hinreichend groß ist. Ist die Stichprobe klein (üblicherweise n unter 30) und wird die Standardabweichung der Grundgesamtheit aus der Stichprobe geschätzt, liefert die t-Verteilung nach Student mit n - 1 Freiheitsgraden ein etwas breiteres, genaueres Intervall; der Unterschied verschwindet mit wachsendem n.
Häufige Fehler
- Ein 95-%-Intervall als »95 % der Daten liegen in diesem Bereich« deuten — das Intervall beschreibt die Unsicherheit über den Mittelwert, nicht die Streuung einzelner Beobachtungen.
- Sagen, der wahre Mittelwert liege mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % in genau diesem Intervall; die 95 % beschreiben die langfristige Trefferquote des Verfahrens über wiederholte Stichproben hinweg.
- Das z-Intervall bei einer kleinen Stichprobe mit geschätzter Standardabweichung verwenden, wo die t-Verteilung die angemessene Wahl ist.
- Den Standardfehler statt der Standardabweichung eingeben — der Rechner teilt selbst durch √n.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich ein 95-%-Konfidenzintervall?
Berechnen Sie den Standardfehler (Standardabweichung geteilt durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs), multiplizieren Sie ihn mit 1,96, um die Fehlermarge zu erhalten, und addieren beziehungsweise subtrahieren Sie diese Marge vom Stichprobenmittel. Beispiel: Mittelwert 50, sd 8, n = 100 ergibt SE = 0,8, eine Marge von 1,568 und ein Intervall von 48,432 bis 51,568.
Was bedeutet ein Konfidenzniveau von 95 % tatsächlich?
Es beschreibt das langfristige Verhalten der Methode: Zöge man wiederholt Stichproben desselben Umfangs und bildete aus jeder ein Intervall, enthielten etwa 95 % dieser Intervalle den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit. Ein einzelnes Intervall enthält den wahren Mittelwert entweder oder nicht — die 95 % sind eine Eigenschaft des Verfahrens, nicht eines einzelnen Intervalls.
Wann sollte ich die t-Verteilung statt z verwenden?
Verwenden Sie die t-Verteilung nach Student, wenn die Stichprobe klein ist (eine gängige Faustregel lautet n unter 30) und die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist und aus der Stichprobe geschätzt wird. Die t-Verteilung besitzt schwerere Ränder und liefert ein etwas breiteres Intervall, das die zusätzliche Unsicherheit korrekt berücksichtigt; bei größeren Stichproben werden t- und z-Intervall praktisch identisch.
Wie mache ich mein Konfidenzintervall schmaler?
Auf drei Wegen: den Stichprobenumfang erhöhen (die Breite schrumpft proportional zu 1 / √n, eine Vervierfachung von n halbiert sie also), ein niedrigeres Konfidenzniveau akzeptieren (ein 90-%-Intervall ist schmaler als ein 99-%-Intervall) oder die Messstreuung verringern, sodass die Standardabweichung selbst kleiner ausfällt.
Worin unterscheiden sich Standardfehler und Standardabweichung?
Die Standardabweichung misst die Streuung einzelner Beobachtungen um den Mittelwert. Der Standardfehler misst die Unsicherheit des Stichprobenmittels selbst und entspricht der Standardabweichung geteilt durch √n. Mit wachsender Stichprobe stabilisiert sich die Standardabweichung nahe ihrem Populationswert, während der Standardfehler weiter gegen null schrumpft.
Quellenangaben
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Student (Gosset WS). The probable error of a mean. Biometrika 1908; 6(1): 1-25 (origin of the t-distribution).