Median, Modus und Spannweite verstehen
Jede Kennzahl beschreibt einen anderen Aspekt der Daten. Die folgende Tabelle fasst zusammen, was sie jeweils aussagt.
| Kennzahl | Was sie beschreibt | Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern |
|---|---|---|
| Median | Die Mitte der geordneten Daten; 50 % der Werte liegen bei oder unter ihm | Gering — hängt nur von der Reihenfolge der Werte ab |
| Modus | Der häufigste Wert bzw. die häufigsten Werte; die Gipfel der Verteilung | Gering — von Extremwerten unbeeinflusst |
| Spannweite | Gesamte Streubreite vom kleinsten bis zum größten Wert | Hoch — vollständig durch die beiden Extremwerte bestimmt |
- Liegt das Mittel merklich über dem Median, sind die Daten in der Regel rechtsschief (mit einem Ausläufer großer Werte, wie bei Einkommen); ein Mittel unterhalb des Medians deutet auf Linksschiefe hin.
- Ein Datensatz kann keinen Modus (alle Werte verschieden), einen Modus oder mehrere Modi besitzen; dieser Rechner listet alle Werte auf, die die höchste Häufigkeit teilen.
- Der Median einer Stichprobe schätzt den Median der Grundgesamtheit; wie alle Stichprobenkennzahlen unterliegt er der Stichprobenvariation.
Was sind Median, Modus und Spannweite?
Der Median ist der Wert, der einen geordneten Datensatz in zwei Hälften teilt. Um ihn zu bestimmen, sortiert man die Werte vom kleinsten zum größten; bei einer ungeraden Anzahl ist der Median der einzelne mittlere Wert, bei einer geraden Anzahl das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Da der Median nur von der Reihenfolge der Daten abhängt und nicht von der Größe der Extremwerte, ist er robust gegenüber Ausreißern.
Der Modus ist der Wert (oder sind die Werte), der in den Daten am häufigsten vorkommt. Ein Datensatz kann einen Modus, mehrere Modi (etwa bimodale Daten mit zwei Gipfeln) oder gar keinen Modus besitzen, wenn jeder Wert genau einmal auftritt. Der Modus ist das einzige Lagemaß, das sich auch auf kategoriale Daten anwenden lässt.
Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Sie ist das einfachste Streuungsmaß, reagiert aber äußerst empfindlich auf Ausreißer, da sie nur die beiden extremen Beobachtungen nutzt; Standardabweichung und Interquartilsabstand beschreiben die Streuung robuster.
So verwenden Sie diesen Medianrechner
- Geben Sie Ihre Zahlen durch ; getrennt ein, zum Beispiel: 7; 12; 3; 9; 21; 14. Der Rechner sortiert sie für Sie.
- Lesen Sie den Median ab. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist er das Mittel der beiden mittleren Werte der sortierten Liste.
- Lesen Sie den Modus ab: den häufigsten Wert oder die häufigsten Werte. Ein Strich erscheint, wenn sich kein Wert wiederholt, die Daten also keinen Modus besitzen.
- Lesen Sie die Spannweite ab, das Maximum minus das Minimum — ein schneller Hinweis darauf, wie weit die Daten streuen.
So werden Median, Modus und Spannweite berechnet
Median: Sortieren Sie die n Werte. Ist n ungerade, ist der Median der Wert an Position (n + 1) / 2. Ist n gerade, ist der Median das Mittel der Werte an den Positionen n/2 und n/2 + 1.
Rechenbeispiel: die Werte 7, 12, 3, 9, 21, 14. Sortiert: 3, 7, 9, 12, 14, 21. Es liegen n = 6 Werte vor (gerade), der Median ist daher das Mittel des dritten und vierten Werts: (9 + 12) / 2 = 10,5. Kein Wert wiederholt sich, es gibt also keinen Modus. Die Spannweite beträgt 21 - 3 = 18.
Zweites Beispiel mit Modus: 2, 4, 4, 7, 9. Sortiert ist der mittlere (dritte) Wert 4, der Median beträgt also 4. Der Wert 4 tritt zweimal auf, jeder andere Wert nur einmal, der Modus ist daher 4. Die Spannweite beträgt 9 - 2 = 7.
Häufige Fehler
- Vergessen, die Daten vor dem Bestimmen des mittleren Werts zu sortieren — der Median ist auf der geordneten Liste definiert.
- Bei gerader Anzahl einen der beiden mittleren Werte nehmen statt ihres Mittels: Für 3, 7, 9, 12, 14, 21 beträgt der Median 10,5 und nicht 9 oder 12.
- Annehmen, jeder Datensatz besitze einen Modus — wiederholt sich kein Wert, existiert kein Modus.
- Die Spannweite als robustes Streuungsmaß verwenden; sie hängt nur von den beiden extremsten Werten ab und ignoriert alles dazwischen.
Häufig gestellte Fragen
Wie bestimme ich den Median eines Datensatzes?
Sortieren Sie die Werte vom kleinsten zum größten. Ist die Anzahl ungerade, ist der Median der mittlere Wert. Ist sie gerade, ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte. Für 7, 12, 3, 9, 21, 14 lautet die sortierte Liste 3, 7, 9, 12, 14, 21, und der Median beträgt (9 + 12) / 2 = 10,5.
Wann ist der Median besser als das Mittel?
Wenn die Daten schief verteilt sind oder Ausreißer enthalten. Der Median hängt nur von der Anordnung der Werte ab, sodass eine einzelne extreme Beobachtung ihn kaum verschiebt, während sich das Mittel deutlich verändern kann. Einkommen und Immobilienpreise werden aus diesem Grund üblicherweise über den Median zusammengefasst.
Kann ein Datensatz mehr als einen Modus haben?
Ja. Teilen sich zwei oder mehr Werte die höchste Häufigkeit, ist der Datensatz multimodal und alle gleichauf liegenden Werte sind Modi. In 1, 2, 2, 5, 7, 7, 9 treten sowohl 2 als auch 7 zweimal auf, die Daten sind also bimodal mit den Modi 2 und 7. Wiederholt sich kein Wert, besitzt der Datensatz keinen Modus.
Was sagt mir die Spannweite?
Die Spannweite ist das Maximum minus das Minimum — die gesamte Ausdehnung der Daten. Sie ist schnell berechnet und leicht zu deuten, nutzt aber nur die beiden extremsten Werte, sodass ein einzelner Ausreißer sie dramatisch aufblähen kann. Für ein vollständigeres Bild der Streuung verwenden Sie die Standardabweichung oder den Interquartilsabstand.
Ist der Median stets ein tatsächlich beobachteter Wert?
Nicht immer. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Median einer der beobachteten Werte. Bei einer geraden Anzahl ist er das Mittel der beiden mittleren Werte, das in den Daten nicht vorkommen muss — der Median 10,5 der Liste 3, 7, 9, 12, 14, 21 gehört etwa zu keiner der sechs Beobachtungen.
Quellenangaben
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (median, mode and resistant measures).
- Weisstein, Eric W. "Statistical Median." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.