📉 Korrelations-Rechner

Ihr Korrelationsergebnis verstehen

Die folgende Tabelle zeigt eine verbreitete beschreibende Skala zur Einordnung der Stärke von |r|. Diese Bänder sind eine Konvention und kein statistischer Test; in verschiedenen Fachgebieten sind mitunter andere Schwellen üblich.

• Pearsons r misst ausdrücklich den linearen Zusammenhang. Zwei Merkmale können einen starken, klar geformten nichtlinearen Zusammenhang aufweisen, etwa eine U-förmige Kurve, und dennoch ein r nahe 0 erzeugen, da r eine Krümmung nicht erfassen kann.
• Korrelation belegt keine Kausalität: Eine hohe Korrelation kann daraus entstehen, dass ein Merkmal das andere verursacht, dass eine dritte Störvariable beide beeinflusst, dass die Wirkrichtung umgekehrt verläuft oder dass es sich um einen Zufall in den Daten handelt.
• Da r aus quadrierten Abweichungen berechnet wird, reagiert er empfindlich auf Ausreißer; ein einzelner extremer Datenpunkt kann den Korrelationskoeffizienten erheblich nach oben oder unten verschieben.
• Pearsons r setzt einen näherungsweise linearen Zusammenhang voraus sowie Daten auf einer Intervall- oder Verhältnisskala; für monotone, aber nichtlineare Zusammenhänge ist ein rangbasiertes Maß wie die Korrelation nach Spearman häufig angemessener.

Was ist der Korrelationskoeffizient nach Pearson?

Der Korrelationskoeffizient nach Pearson (r) misst Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei gepaarten numerischen Merkmalen. Er reicht von −1 bis +1: Werte nahe +1 zeigen einen starken positiven linearen Zusammenhang an, y steigt also tendenziell mit x; Werte nahe −1 stehen für einen starken negativen linearen Zusammenhang, y sinkt also tendenziell, während x steigt; Werte nahe 0 weisen auf einen geringen bis fehlenden linearen Zusammenhang hin.

Dieser Rechner gibt zusätzlich R² aus, das Bestimmtheitsmaß, das r² entspricht und den Anteil der Varianz in y angibt, der sich statistisch durch einen linearen Zusammenhang mit x erklären lässt. Darüber hinaus passt er die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate an, also jene Gerade, die die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zwischen Gerade und Datenpunkten minimiert.

Ein starker Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen belegt allerdings nicht, dass das eine das andere verursacht. Korrelation ist ein rein statistischer Zusammenhang; für einen Kausalnachweis braucht es weitere Evidenz, etwa ein kontrolliertes Experiment oder eine gut angelegte Studie, die Störvariablen und umgekehrte Wirkrichtung ausschließt.

So verwenden Sie diesen Korrelations-Rechner

1. Geben Sie die x-Werte als durch ; getrennte Liste ein, etwa 1; 2; 3; 4.
2. Geben Sie die zugehörigen y-Werte als durch ; getrennte Liste ein, in derselben Reihenfolge und mit derselben Länge wie die x-Werte, etwa 2; 4; 6; 8.
3. Geben Sie mindestens 3 Wertepaare an; mit weniger Punkten ist der Korrelationskoeffizient nicht aussagekräftig.
4. Lesen Sie den Korrelationskoeffizienten (r), R², Steigung und Achsenabschnitt der Regressionsgeraden sowie deren Gleichung ab.

Die Formel hinter Pearson-Korrelation und linearer Regression

Pearsons r ist die Summe der Produkte der Abweichungen beider Merkmale von ihrem jeweiligen Mittelwert, geteilt durch die Wurzel aus dem Produkt der summierten quadrierten Abweichungen: r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √[Σ(xᵢ − x̄)² × Σ(yᵢ − ȳ)²].

Die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate, ŷ = Steigung × x + Achsenabschnitt, verwendet Steigung = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² und Achsenabschnitt = ȳ − Steigung × x̄, gewählt so, dass die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zwischen Gerade und den einzelnen Datenpunkten minimal wird.

Rechenbeispiel: x = 1, 2, 3, 4 und y = 2, 4, 6, 8, also eine exakte Gerade durch den Ursprung mit der Steigung 2. Daraus ergeben sich r = 1 (vollkommen positive lineare Korrelation), R² = 1, Steigung = 2, Achsenabschnitt = 0 und die Regressionsgerade ŷ = 2x.

Häufige Fehler

• Korrelation als Kausalität lesen; ein starker Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen belegt nicht, dass das eine das andere verursacht, denn auch eine dritte Störvariable, eine umgekehrte Wirkrichtung oder ein Zufall können dasselbe statistische Muster erzeugen.
• Annehmen, Pearsons r erfasse jeden Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen, obwohl er nur den linearen misst; ein starker gekrümmter, also nichtlinearer Zusammenhang kann ein r nahe 0 ergeben.
• Den Einfluss von Ausreißern ausblenden, die r wegen der quadrierten Abweichungen erheblich nach oben oder unten verschieben können.
• r mit der Steigung der Regressionsgeraden verwechseln; r ist ein einheitenloses Maß für Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen −1 und +1, während die Steigung die Einheit von y je Einheit von x trägt und von der Skalierung der Daten abhängt.
• Die Regressionsgerade über den Bereich der beobachteten x-Werte hinaus fortschreiben, wo der aus den Daten geschätzte lineare Zusammenhang womöglich nicht mehr gilt.

Häufig gestellte Fragen

Quellenangaben

1. Pearson K. Note on regression and inheritance in the case of two parents. Proceedings of the Royal Society of London 1895; 58: 240-242.
2. National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — correlation and linear regression. nist.gov.
3. Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (correlation, least-squares regression).
4. Evans JD. Straightforward Statistics for the Behavioral Sciences. Brooks/Cole, 1996 (descriptive strength bands for |r|).
5. Chatterjee S, Hadi AS. Regression Analysis by Example. Wiley (least-squares regression and its assumptions).