Ihr Chi-Quadrat-Ergebnis verstehen
Die folgende Tabelle führt die üblichen kritischen Chi-Quadrat-Werte auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 für gängige Freiheitsgrade auf. Übersteigt der beobachtete χ²-Wert den aufgeführten Wert, deutet das auf eine statistisch signifikante Abweichung von der erwarteten Verteilung hin.
| Freiheitsgrade (df) | Kritisches χ² bei α = 0,05 |
|---|---|
| 1 | 3,841 |
| 2 | 5,991 |
| 3 | 7,815 |
| 4 | 9,488 |
| 5 | 11,070 |
| 6 | 12,592 |
| 8 | 15,507 |
| 10 | 18,307 |
- Eine verbreitete Faustregel aus den gängigen Statistiklehrbüchern besagt, dass die Chi-Quadrat-Näherung verlässlich ist, sofern jede erwartete Häufigkeit mindestens 5 beträgt; bei kleineren erwarteten Häufigkeiten ist ein exakter Test angemessener.
- Dieser Rechner führt ausschließlich den Anpassungstest durch, also ein einzelnes kategoriales Merkmal gegen eine angenommene Verteilung, und nicht den Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest zweier kategorialer Merkmale, der die erwarteten Häufigkeiten anders berechnet, nämlich aus Zeilen- und Spaltensummen.
- Die Listen der beobachteten und erwarteten Häufigkeiten müssen gleich lang sein, mindestens 2 Kategorien umfassen, und jede erwartete Häufigkeit muss echt positiv sein.
- Ein statistisch signifikantes Ergebnis zeigt an, dass die Kategorien von den angenommenen Anteilen abweichen; es sagt für sich genommen weder, welche Kategorie betroffen ist, noch wie groß der Unterschied in der Praxis ausfällt.
Was ist ein Chi-Quadrat-Anpassungstest?
Der Chi-Quadrat-Anpassungstest vergleicht die beobachteten Häufigkeiten in einer Reihe von Kategorien mit den Häufigkeiten, die unter einer angenommenen Verteilung zu erwarten wären, und misst, wie stark beide auseinandergehen. Dieser Rechner führt ausschließlich die Anpassungsvariante durch, also die Prüfung eines einzelnen kategorialen Merkmals gegen erwartete Anteile, und nicht den verwandten Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest, der den Zusammenhang zweier kategorialer Merkmale in einer Kontingenztafel untersucht.
Die Teststatistik summiert die quadrierte und skalierte Differenz zwischen beobachteter und erwarteter Häufigkeit über alle Kategorien hinweg: Größere Abweichungen im Verhältnis zu den erwarteten Häufigkeiten erzeugen einen größeren χ²-Wert und damit stärkere Evidenz gegen die angenommene Verteilung.
Da χ² stets null oder positiv ist, wirkt der Test von Natur aus in eine Richtung: Nur ungewöhnlich große χ²-Werte, gemessen an der Chi-Quadrat-Verteilung mit den passenden Freiheitsgraden, gelten als Hinweis auf eine schlechte Anpassung; eine Entsprechung für eine negative Richtung gibt es nicht.
So verwenden Sie diesen Chi-Quadrat-Test-Rechner
- Geben Sie die beobachteten Häufigkeiten je Kategorie als durch ; getrennte Liste ein, etwa 30; 25; 22; 23.
- Geben Sie die erwarteten Häufigkeiten für dieselben Kategorien in derselben Reihenfolge als durch ; getrennte Liste ein, etwa 25; 25; 25; 25.
- Achten Sie darauf, dass beide Listen gleich lang sind (mindestens 2 Kategorien) und jede erwartete Häufigkeit größer als null ist.
- Lesen Sie den χ²-Wert, die Freiheitsgrade (Anzahl der Kategorien minus 1) und den p-Wert ab und vergleichen Sie den p-Wert mit Ihrem gewählten Signifikanzniveau, üblicherweise α = 0,05.
Die Formel hinter dem Chi-Quadrat-Anpassungstest
Der Chi-Quadrat-Wert lautet χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ, summiert über alle k Kategorien, wobei Oᵢ die beobachtete und Eᵢ die erwartete Häufigkeit in Kategorie i bezeichnet. Die Freiheitsgrade betragen k − 1, also eins weniger als die Anzahl der Kategorien.
Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter der Chi-Quadrat-Verteilung mit den gegebenen Freiheitsgraden einen mindestens so großen χ²-Wert zu beobachten, sofern die angenommene Verteilung der erwarteten Häufigkeiten zuträfe.
Rechenbeispiel: beobachtete Häufigkeiten 30, 25, 22, 23 gegenüber erwarteten Häufigkeiten von je 25. χ² = (30−25)²/25 + (25−25)²/25 + (22−25)²/25 + (23−25)²/25 = 1 + 0 + 0,36 + 0,16 = 1,52, mit df = 4 − 1 = 3. Das liegt deutlich unter dem kritischen Wert von 7,815 für α = 0,05 bei 3 Freiheitsgraden, weshalb das Ergebnis nicht statistisch signifikant ist.
Häufige Fehler
- Diesen Anpassungstest verwenden, obwohl die eigentliche Frage zwei kategoriale Merkmale und deren Zusammenhang betrifft; dafür ist ein Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest mit einer Kontingenztafel erwarteter Häufigkeiten nötig und nicht eine einzelne Gegenüberstellung von beobachtet und erwartet.
- Die Vorgabe zu den erwarteten Häufigkeiten verletzen: Sind die erwarteten Häufigkeiten klein, üblicherweise unter 5 in einer oder mehreren Kategorien, wird die Chi-Quadrat-Näherung unzuverlässig und ein exakter Test ist angemessener.
- Listen unterschiedlicher Länge für beobachtete und erwartete Häufigkeiten eingeben oder die Kategorien in den beiden Listen unterschiedlich anordnen, wodurch der Vergleich nicht mehr zusammenpasst.
- Eine erwartete Häufigkeit von null eingeben, wodurch der Term (O − E)² / E für diese Kategorie nicht definiert ist.
- Ein statistisch signifikantes χ² als Beleg für einen großen oder wichtigen Unterschied lesen; Signifikanz zeigt an, dass die Abweichung unter der Annahme der erwarteten Verteilung unwahrscheinlich wäre, nicht dass sie praktisch groß ist.
Häufig gestellte Fragen
Wofür wird ein Chi-Quadrat-Anpassungstest verwendet?
Er prüft, ob die beobachteten Häufigkeiten in einer Reihe von Kategorien zu den erwarteten Häufigkeiten einer angenommenen Verteilung passen, etwa ob die beobachteten Wurfhäufigkeiten eines Würfels der erwarteten Gleichverteilung entsprechen oder ob Umfrageantworten einem unterstellten Anteil folgen.
Wie wird der Chi-Quadrat-Wert berechnet?
χ² = Σ (beobachtet − erwartet)² / erwartet, summiert über sämtliche Kategorien. Je größer die Abweichungen zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten ausfallen, besonders im Verhältnis zur erwarteten Häufigkeit, desto größer wird der χ²-Wert.
Was sind die Freiheitsgrade bei einem Anpassungstest?
Die Freiheitsgrade entsprechen der Anzahl der Kategorien minus 1 (df = k − 1). Bei 4 Kategorien, wie im Rechenbeispiel auf dieser Seite, ergibt sich df = 3.
Warum müssen die erwarteten Häufigkeiten mindestens 5 betragen?
Die Verteilung der Teststatistik wird nur dann gut durch die Chi-Quadrat-Verteilung angenähert, wenn die erwarteten Häufigkeiten nicht zu klein sind. Eine häufig zitierte Faustregel verlangt daher, dass jede erwartete Häufigkeit mindestens 5 beträgt; darunter kann der p-Wert aus der Chi-Quadrat-Näherung ungenau werden, und ein exakter Test ist vorzuziehen.
Ist das dasselbe wie ein Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest?
Nein. Dieser Rechner führt den Anpassungstest durch, der die beobachteten Häufigkeiten eines kategorialen Merkmals mit einer angenommenen Verteilung vergleicht. Der Unabhängigkeitstest prüft hingegen, ob zwei kategoriale Merkmale zusammenhängen, und nutzt dafür eine Kontingenztafel, in der die erwarteten Häufigkeiten aus Zeilen- und Spaltensummen berechnet werden, also über eine andere Rechnung.
Quellenangaben
- Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine Series 5, 1900; 50(302): 157-175.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — chi-square goodness-of-fit test. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (chi-square goodness-of-fit test and expected-count guidelines).
- Snedecor GW, Cochran WG. Statistical Methods. Iowa State University Press (chi-square goodness-of-fit test).
- Agresti A. Categorical Data Analysis. Wiley (chi-square goodness-of-fit and independence tests).