Ihr Ergebnis zur Normalverteilung verstehen
Die folgende Tabelle führt die kumulierte Wahrscheinlichkeit Φ(z) der Standardnormalverteilung bei ganzzahligen z-Werten auf, im Einklang mit den üblichen Tabellen der Standardnormalverteilung.
| z-Wert | Φ(z) — kumulierte Wahrscheinlichkeit unter z |
|---|---|
| −3 | 0,13% |
| −2 | 2,28% |
| −1 | 15,87% |
| 0 | 50,00% |
| +1 | 84,13% |
| +2 | 97,72% |
| +3 | 99,87% |
- Empirische Regel: Etwa 68,27% einer Normalverteilung liegen innerhalb von ±1 Standardabweichung um den Mittelwert, rund 95,45% innerhalb von ±2 Standardabweichungen und etwa 99,73% innerhalb von ±3 Standardabweichungen.
- Im Modus zwischen zwei Werten muss die obere Grenze b größer oder gleich x sein; ist b kleiner als x, gibt der Rechner kein Ergebnis zurück.
- Da die Normalverteilung stetig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen exakten Wert 0; nur Bereiche, also unter, über oder zwischen, haben eine Wahrscheinlichkeit ungleich null.
- Diese Berechnungen setzen voraus, dass die Variable tatsächlich normalverteilt ist. Schiefe, begrenzte oder stark randlastige Daten können erheblich von diesen Wahrscheinlichkeiten abweichen, auch wenn sich ein z-Wert weiterhin berechnen lässt.
Was ist die Normalverteilung?
Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist eine stetige, symmetrische, glockenförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch zwei Parameter vollständig beschrieben wird: den Mittelwert (μ), der die Lage festlegt, und die Standardabweichung (σ), die die Streuung bestimmt. Viele natürliche und gemessene Größen, etwa Körpergrößen, Messfehler oder Ergebnisse standardisierter Tests, sind näherungsweise normalverteilt, weshalb diese Verteilung für Theorie und Praxis der Statistik zentral ist.
Da eine stetige Verteilung Wahrscheinlichkeiten Bereichen und nicht einzelnen Punkten zuordnet, beantwortet dieser Rechner Fragen der Form, welcher Anteil der Werte unter x, über x oder zwischen x und b liegt, niemals hingegen die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für genau x, die bei einer stetigen Verteilung stets 0 beträgt.
Jede Normalverteilung lässt sich über einen z-Wert in die Standardnormalverteilung (Mittelwert 0, Standardabweichung 1) überführen: z = (x − μ) / σ. Die zu einem x-Bereich gehörende Wahrscheinlichkeit wird anschließend aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung abgelesen, häufig als Φ(z) geschrieben, die den Anteil der Verteilung bei oder unter z angibt.
Die empirische Regel, auch 68-95-99,7-Regel genannt, fasst die Streuung der Standardnormalverteilung zusammen: Etwa 68,27% der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, rund 95,45% innerhalb von zwei Standardabweichungen und etwa 99,73% innerhalb von drei Standardabweichungen.
So verwenden Sie diesen Normalverteilungs-Rechner
- Geben Sie den Mittelwert (μ) und die Standardabweichung (σ) der Verteilung ein. Die Standardabweichung muss größer als null sein.
- Wählen Sie einen Berechnungsmodus: unter einem Wert, über einem Wert oder zwischen zwei Werten.
- Geben Sie den Wert x ein. Im Modus für den Bereich zwischen zwei Werten geben Sie zusätzlich die obere Grenze b ein, die größer oder gleich x sein muss.
- Lesen Sie die Wahrscheinlichkeit als Prozentwert und als Anteil zwischen 0 und 1 sowie den zugehörigen z-Wert für x ab.
Die Formel hinter der Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung
Jede Berechnung beginnt damit, x zu einem z-Wert zu standardisieren: z = (x − μ) / σ. Die Wahrscheinlichkeit wird anschließend aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(z) abgelesen, die keine einfache geschlossene Form besitzt und daher numerisch ausgewertet wird.
Modus unter einem Wert: P(X < x) = Φ(z). Modus über einem Wert: P(X > x) = 1 − Φ(z). Modus zwischen zwei Werten: P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ), wobei zᵦ der z-Wert der oberen Grenze b ist.
Rechenbeispiel (Modus unter einem Wert): Mittelwert = 100, Standardabweichung = 15, x = 120. z = (120 − 100) / 15 = 1,3333. Das Nachschlagen von Φ(1,3333) in der Standardnormalverteilung ergibt näherungsweise 0,9088, also P(X < 120) ≈ 90,88%.
Rechenbeispiel (Modus zwischen zwei Werten, Standardnormalverteilung): Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1, zwischen −1 und +1. Der untere z-Wert ist −1, der obere +1. Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, also P(−1 < X < 1) ≈ 68,27% — die erste Stufe der empirischen Regel.
Häufige Fehler
- Den falschen Modus wählen; unter, über und zwischen liefern für dasselbe x unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, und ihre Verwechslung ist eine häufige Fehlerquelle.
- Im Modus zwischen zwei Werten eine obere Grenze b eingeben, die kleiner als x ist, was für diesen Rechner kein gültiger Bereich ist.
- Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen exakten Werts als aussagekräftig behandeln; bei einer stetigen Verteilung wie der Normalverteilung ist P(X = x) stets 0.
- Ohne Prüfung annehmen, ein Datensatz sei normalverteilt; die hier zurückgegebenen Wahrscheinlichkeiten sind nur dann zutreffend, wenn die zugrunde liegende Variable näherungsweise normalverteilt ist.
- Standardabweichung und Varianz verwechseln; dieser Rechner erwartet die Standardabweichung (σ), nicht ihr Quadrat.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich eine Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung?
Wandeln Sie den Wert über z = (x − Mittelwert) / Standardabweichung in einen z-Wert um und lesen Sie anschließend die zugehörige kumulierte Wahrscheinlichkeit aus der Standardnormalverteilung ab. Für einen Wert unter x nutzen Sie Φ(z) unmittelbar, für einen Wert über x 1 − Φ(z), und für einen Bereich zwischen x und b bilden Sie die Differenz der beiden kumulierten Wahrscheinlichkeiten.
Was besagt die empirische Regel?
Die empirische Regel (68-95-99,7-Regel) besagt, dass bei einer Normalverteilung etwa 68,27% der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert liegen, rund 95,45% innerhalb von zwei Standardabweichungen und etwa 99,73% innerhalb von drei Standardabweichungen.
Was ist ein z-Wert?
Ein z-Wert drückt aus, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt, berechnet als z = (x − Mittelwert) / Standardabweichung. Er ist der Zwischenschritt, über den dieser Rechner eine Wahrscheinlichkeit in der Standardnormalverteilung nachschlägt.
Warum ist die Wahrscheinlichkeit eines exakten Werts stets 0?
Die Normalverteilung ist stetig, weshalb Wahrscheinlichkeit nur über Bereiche und nicht über einzelne Punkte definiert ist. Die Frage nach P(X = 120) ergibt mathematisch 0; sinnvoll sind die Fragen nach P(X < 120), P(X > 120) oder P(a < X < b).
Funktioniert dieser Rechner für jeden Datensatz?
Nur dann, wenn die zugrunde liegende Variable näherungsweise normalverteilt ist. Viele reale Variablen sind es, doch schiefe, begrenzte (etwa Anzahlen oder Anteile) oder stark randlastige Daten können irreführende Wahrscheinlichkeiten liefern, wenn man sie in diesen Rahmen zwingt.
Was ist der Unterschied zwischen dem Modus unter einem Wert und dem Modus zwischen zwei Werten?
Der Modus unter einem Wert gibt die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zu einem einzelnen Wert x an, also P(X < x). Der Modus zwischen zwei Werten gibt die Wahrscheinlichkeit an, in einen Bereich zu fallen, also P(x < X < b); sie ist die Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten und erfordert daher sowohl einen unteren Wert x als auch eine obere Grenze b.
Quellenangaben
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).