Bạn nên dùng loại trung bình nào?
Mỗi loại trung bình trả lời một câu hỏi khác nhau. Bảng dưới đây tóm tắt khi nào mỗi loại là cách tóm tắt phù hợp.
| Loại trung bình | Dùng khi các giá trị kết hợp bằng | Ứng dụng điển hình |
|---|---|---|
| Trung bình cộng | Phép cộng | Điểm kiểm tra, chiều cao, nhiệt độ, các giá trị trung bình thông thường |
| Trung bình nhân | Phép nhân | Tốc độ tăng trưởng, lợi suất đầu tư, tỷ lệ, số chỉ số |
| Trung bình điều hòa | Nghịch đảo (tỷ suất) | Vận tốc trung bình trên quãng đường bằng nhau, tỷ số giá trên lợi nhuận, điện trở mắc song song |
- Trung bình nhân và trung bình điều hòa chỉ được xác định với các giá trị toàn dương. Máy tính này bỏ qua chúng khi danh sách chứa số không hoặc số âm.
- Với mọi tập dữ liệu toàn số dương, trung bình cộng >= trung bình nhân >= trung bình điều hòa, dấu bằng chỉ xảy ra khi mọi giá trị bằng nhau (bất đẳng thức AM-GM-HM).
- Lấy trung bình cộng của các tốc độ tăng trưởng phần trăm sẽ phóng đại mức tăng trưởng lũy kế; trung bình nhân của các hệ số tăng trưởng mới cho ra mức không đổi tương đương chính xác.
Trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hòa là gì?
Trung bình cộng là tổng các giá trị chia cho số lượng của chúng. Đây là giá trị trung bình phù hợp cho các đại lượng kết hợp bằng phép cộng, chẳng hạn chiều cao, điểm kiểm tra hay nhiệt độ, và nó chính là điều hầu hết mọi người hiểu khi nói 'giá trị trung bình'.
Trung bình nhân là căn bậc n của tích n giá trị dương. Đây là giá trị trung bình phù hợp cho các đại lượng kết hợp bằng phép nhân, chẳng hạn tốc độ tăng trưởng và tỷ lệ: trung bình nhân của các hệ số tăng trưởng hằng năm cho ra mức tăng không đổi tạo ra cùng mức tăng trưởng tổng thể. Nó chỉ được xác định với dữ liệu toàn số dương, vì một số không sẽ làm tích sụp về không và số âm có thể khiến căn bậc n không còn là số thực.
Trung bình điều hòa là số lượng chia cho tổng các nghịch đảo của các giá trị. Đây là giá trị trung bình phù hợp cho các tỷ suất có tử số cố định, trường hợp kinh điển là vận tốc trung bình trên những quãng đường bằng nhau. Giống trung bình nhân, nó đòi hỏi mọi giá trị đều dương. Với mọi tập dữ liệu toàn số dương, ba giá trị trung bình tuân theo bất đẳng thức: cộng >= nhân >= điều hòa, dấu bằng chỉ xảy ra khi mọi giá trị đều như nhau.
Cách dùng máy tính giá trị trung bình này
- Nhập các số của bạn, phân tách bằng ;, ví dụ: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- Đọc trung bình cộng, giá trị này luôn được hiển thị.
- Nếu mọi giá trị đều dương, hãy đọc thêm trung bình nhân và trung bình điều hòa; chúng không được xác định khi danh sách chứa số không hoặc số âm, nên sẽ bị bỏ qua trong trường hợp đó.
- Chọn loại trung bình phù hợp với bài toán của bạn: trung bình cộng cho đại lượng cộng tính, trung bình nhân cho tốc độ tăng trưởng và tỷ lệ, trung bình điều hòa cho các tỷ suất như vận tốc trên những quãng đường bằng nhau.
Công thức của ba giá trị trung bình
Trung bình cộng: cộng n giá trị rồi chia cho n. Trung bình nhân: nhân n giá trị rồi lấy căn bậc n (trên thực tế được tính bằng lũy thừa cơ số e của trung bình các logarit). Trung bình điều hòa: chia n cho tổng các nghịch đảo.
Ví dụ minh họa với các giá trị 1, 4, 16. Trung bình cộng: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. Trung bình nhân: tích là 1 x 4 x 16 = 64, và căn bậc ba của 64 là 4. Trung bình điều hòa: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, xấp xỉ 2,285714. Lưu ý rằng 7 >= 4 >= 2,285714, minh họa bất đẳng thức trung bình cộng — nhân — điều hòa.
Ví dụ về vận tốc cho trung bình điều hòa: đi cùng một quãng đường ở 30 km/h rồi ở 60 km/h cho vận tốc trung bình là 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h, chứ không phải trung bình cộng 45 km/h, vì thời gian đi ở vận tốc chậm hơn nhiều hơn.
Những lỗi thường gặp
- Dùng trung bình cộng cho tốc độ tăng trưởng: một năm +50% tiếp theo một năm -50% cho trung bình cộng bằng 0%, nhưng khoản đầu tư thực tế giảm 25% tổng thể; trung bình nhân của các hệ số 1,5 và 0,5 (khoảng 0,866) mới phản ánh đúng mức thay đổi trung bình.
- Lấy trung bình cộng của các vận tốc trên những quãng đường bằng nhau — các chặng có quãng đường bằng nhau cần dùng trung bình điều hòa.
- Áp dụng trung bình nhân hoặc trung bình điều hòa cho dữ liệu chứa số không hoặc số âm, nơi chúng không được xác định.
- Kỳ vọng ba giá trị trung bình trùng nhau — chúng chỉ trùng khi mọi giá trị trong danh sách đều như nhau.
Câu hỏi thường gặp
Trung bình cộng và trung bình nhân khác nhau thế nào?
Trung bình cộng cộng các giá trị rồi chia cho số lượng; trung bình nhân nhân các giá trị rồi lấy căn bậc n. Trung bình cộng phù hợp với các đại lượng kết hợp bằng phép cộng, còn trung bình nhân phù hợp với các đại lượng kết hợp bằng phép nhân, chẳng hạn hệ số tăng trưởng. Với các giá trị 1, 4 và 16, trung bình cộng là 7 và trung bình nhân là 4.
Khi nào tôi nên dùng trung bình điều hòa?
Hãy dùng trung bình điều hòa để lấy trung bình các tỷ suất khi tử số cố định — trường hợp kinh điển là vận tốc trung bình trên những quãng đường bằng nhau. Đi cùng một quãng đường ở 30 km/h và 60 km/h cho trung bình 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h, chứ không phải 45 km/h, vì thời gian đi ở vận tốc chậm hơn nhiều hơn. Trung bình điều hòa cũng xuất hiện khi lấy trung bình tỷ số giá trên lợi nhuận và khi ghép các điện trở mắc song song.
Vì sao máy tính này đôi khi chỉ hiển thị trung bình cộng?
Trung bình nhân và trung bình điều hòa chỉ được xác định khi mọi giá trị trong danh sách đều dương. Một số không làm trung bình nhân sụp về không và làm trung bình điều hòa không xác định (chia cho không), còn số âm có thể khiến căn bậc n của tích không còn là số thực. Khi danh sách chứa số không hoặc số âm, chỉ trung bình cộng được báo cáo.
Vì sao trung bình nhân là lựa chọn đúng cho lợi suất đầu tư?
Lợi suất đầu tư gộp theo cấp số nhân. Nếu một danh mục tăng theo các hệ số 1,5 (tăng 50%) và 0,5 (giảm 50%) trong hai năm liên tiếp, hệ số tổng thể là 1,5 x 0,5 = 0,75. Trung bình nhân của các hệ số, tức căn bậc hai của 0,75, xấp xỉ 0,866, chính là hệ số hằng năm không đổi tạo ra cùng kết quả — mức lỗ trung bình khoảng 13,4% mỗi năm, điều mà trung bình cộng bằng 0% bỏ sót hoàn toàn.
Trung bình cộng có luôn là lớn nhất trong ba giá trị trung bình không?
Với các tập dữ liệu gồm số dương thì có: trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân, và trung bình nhân lớn hơn hoặc bằng trung bình điều hòa. Dấu bằng chỉ xảy ra khi mọi giá trị đều như nhau. Đây là bất đẳng thức AM-GM-HM, một kết quả chuẩn mực trong đại số cổ điển.
Tài liệu tham khảo
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).