Hiểu độ lệch chuẩn của bạn
Với dữ liệu xấp xỉ chuẩn (hình chuông), quy tắc thực nghiệm mô tả tỷ lệ dữ liệu nằm trong một số độ lệch chuẩn nhất định quanh giá trị trung bình.
| Khoảng quanh giá trị trung bình | Tỷ lệ dữ liệu xấp xỉ (phân phối chuẩn) |
|---|---|
| Trong phạm vi 1 độ lệch chuẩn | Khoảng 68% |
| Trong phạm vi 2 độ lệch chuẩn | Khoảng 95% |
| Trong phạm vi 3 độ lệch chuẩn | Khoảng 99,7% |
- Quy tắc thực nghiệm 68-95-99,7 áp dụng cho các phân phối xấp xỉ chuẩn; dữ liệu lệch mạnh hoặc có đuôi dày có thể chênh lệch đáng kể so với các tỷ lệ này.
- Dùng dạng mẫu (n - 1) khi dữ liệu là một mẫu dùng để suy luận về một tổng thể lớn hơn; chỉ dùng dạng tổng thể (n) khi tập dữ liệu là toàn bộ tổng thể mà bạn quan tâm.
- Độ lệch chuẩn nhạy cảm với giá trị ngoại lai vì các độ lệch được bình phương; một giá trị cực đoan duy nhất có thể làm nó phồng lên rõ rệt.
- Máy tính này cần ít nhất hai giá trị, vì không thể ước lượng mức phân tán từ một quan sát duy nhất.
Độ lệch chuẩn là gì?
Độ lệch chuẩn lượng hóa khoảng cách điển hình giữa các giá trị dữ liệu và giá trị trung bình của chúng. Độ lệch chuẩn nhỏ có nghĩa là các giá trị bám sát quanh giá trị trung bình; độ lệch chuẩn lớn có nghĩa là chúng phân tán rộng. Nó được biểu diễn theo cùng đơn vị với dữ liệu, điều này khiến nó dễ diễn giải hơn phương sai (bình phương của nó).
Điểm cốt lõi cần nắm là sự phân biệt giữa dạng mẫu và dạng tổng thể. Độ lệch chuẩn tổng thể (sigma) chia tổng bình phương các độ lệch cho n, và chỉ đúng khi tập dữ liệu là toàn bộ tổng thể mà bạn quan tâm — ví dụ, điểm thi của mọi học sinh trong một lớp cụ thể. Độ lệch chuẩn mẫu (s) thay vào đó chia cho n - 1, và đúng khi dữ liệu là một mẫu dùng để ước lượng mức phân tán của một tổng thể lớn hơn.
Việc chia cho n - 1 được gọi là hiệu chỉnh Bessel. Vì giá trị trung bình mẫu được tính từ chính dữ liệu đó, các độ lệch quanh nó có hệ thống nhỏ hơn một chút so với các độ lệch quanh giá trị trung bình tổng thể thực (chưa biết); chia cho n - 1 thay vì n bù đắp cho điều này và khiến phương sai mẫu trở thành ước lượng không chệch của phương sai tổng thể. Hiệu chỉnh này quan trọng nhất với các mẫu nhỏ và trở nên không đáng kể khi n lớn dần.
Cách dùng máy tính độ lệch chuẩn này
- Nhập ít nhất hai số cách nhau bằng ;, ví dụ: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16.
- Đọc độ lệch chuẩn mẫu (s) nếu dữ liệu của bạn là một mẫu từ một tổng thể lớn hơn — trường hợp thường gặp trong khảo sát, thí nghiệm và kiểm tra chất lượng.
- Đọc độ lệch chuẩn tổng thể (sigma) nếu dữ liệu của bạn là toàn bộ tổng thể mà bạn quan tâm.
- Dùng giá trị trung bình, phương sai mẫu và số lượng để kiểm tra lại phép tính hoặc đưa chúng vào phân tích sâu hơn như khoảng tin cậy và điểm z.
Công thức độ lệch chuẩn
Cả hai dạng đều bắt đầu giống nhau: tính giá trị trung bình, lấy từng giá trị trừ đi nó, bình phương từng độ lệch, rồi cộng các bình phương lại. Dạng tổng thể chia tổng đó cho n rồi lấy căn bậc hai; dạng mẫu chia cho n - 1 rồi lấy căn bậc hai.
Ví dụ tính tay: các giá trị 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Bước 1 — giá trị trung bình: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Bước 2 — các bình phương độ lệch: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, cộng lại bằng 32. Bước 3 (tổng thể) — 32 / 8 = 4, và sqrt(4) = 2. Bước 4 (mẫu) — 32 / 7 = 4,571429 (phương sai mẫu), và sqrt(4,571429) = 2,13809 (đã làm tròn).
Với cùng một tập dữ liệu, giá trị mẫu luôn lớn hơn giá trị tổng thể một chút, vì nó chia cho một số nhỏ hơn — trừ khi mọi giá trị đều giống hệt nhau, khi đó cả hai đều bằng không. Khoảng cách này thu hẹp lại khi mẫu lớn hơn.
Những sai lầm thường gặp
- Dùng công thức tổng thể (chia cho n) trên dữ liệu mẫu — điều này đánh giá thấp một cách có hệ thống mức phân tán của tổng thể mà mẫu được rút ra; hãy chia cho n - 1 với dữ liệu mẫu.
- Nhầm lẫn phương sai với độ lệch chuẩn: phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn và được biểu diễn theo đơn vị bình phương.
- Áp dụng quy tắc 68-95-99,7 cho dữ liệu lệch rõ rệt hoặc có đuôi dày, nơi quy tắc này không đúng.
- So sánh độ lệch chuẩn của các tập dữ liệu đo bằng đơn vị khác nhau hoặc trên các thang rất khác nhau mà không chuẩn hóa (để đo mức phân tán tương đối, hệ số biến thiên chia cho giá trị trung bình).
Câu hỏi thường gặp
Độ lệch chuẩn mẫu và độ lệch chuẩn tổng thể khác nhau thế nào?
Độ lệch chuẩn tổng thể chia tổng bình phương các độ lệch cho n và đúng khi dữ liệu của bạn là toàn bộ tổng thể. Độ lệch chuẩn mẫu chia cho n - 1 (hiệu chỉnh Bessel) và đúng khi dữ liệu của bạn là một mẫu dùng để ước lượng mức phân tán của một tổng thể lớn hơn. Với cùng một tập dữ liệu, giá trị mẫu luôn lớn hơn một chút (cả hai đều bằng không nếu mọi giá trị giống hệt nhau); chênh lệch mờ dần khi cỡ mẫu tăng lên.
Tại sao chia cho n - 1 thay vì n?
Vì giá trị trung bình mẫu được tính từ chính dữ liệu đó, các độ lệch quan sát được quanh nó có hệ thống nhỏ hơn một chút so với các độ lệch quanh giá trị trung bình tổng thể thực. Chia cho n - 1 thay vì n bù đắp cho độ chệch này, khiến phương sai mẫu trở thành ước lượng không chệch của phương sai tổng thể. Điều chỉnh này được gọi là hiệu chỉnh Bessel.
Làm sao tính độ lệch chuẩn bằng tay?
Trước hết hãy tìm giá trị trung bình. Sau đó lấy từng giá trị trừ đi giá trị trung bình, bình phương từng kết quả, rồi cộng các bình phương lại. Với mẫu, chia tổng này cho n - 1; với tổng thể, chia cho n. Cuối cùng lấy căn bậc hai. Ví dụ: với 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 thì giá trị trung bình là 5, tổng các bình phương độ lệch là 32, và độ lệch chuẩn mẫu là sqrt(32 / 7) = 2.138 (đã làm tròn).
Độ lệch chuẩn bằng 0 nghĩa là gì?
Nghĩa là mọi giá trị trong tập dữ liệu đều giống hệt nhau — hoàn toàn không có sự phân tán. Độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị càng khác biệt so với giá trị trung bình một cách điển hình. Độ lệch chuẩn không bao giờ có thể âm.
Quy tắc 68-95-99,7 là gì?
Với dữ liệu xấp xỉ chuẩn (hình chuông), khoảng 68% giá trị nằm trong phạm vi một độ lệch chuẩn quanh giá trị trung bình, khoảng 95% trong phạm vi hai độ lệch chuẩn, và khoảng 99,7% trong phạm vi ba độ lệch chuẩn. Quy tắc này là cách nhanh để đánh giá xem một quan sát có bất thường hay không, nhưng chỉ đáng tin khi phân phối gần chuẩn.
Phương sai có giống độ lệch chuẩn không?
Không. Phương sai là trung bình của các bình phương độ lệch so với giá trị trung bình, còn độ lệch chuẩn là căn bậc hai của nó. Phương sai được biểu diễn theo đơn vị bình phương (ví dụ, cm^2 với dữ liệu đo bằng cm), đó là lý do độ lệch chuẩn — theo đơn vị gốc — thường được nêu ra khi mô tả mức phân tán.
Tài liệu tham khảo
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.