Hai công thức, một khác biệt nhỏ nhưng quan trọng
Cả hai công thức độ lệch chuẩn đều bắt đầu giống hệt nhau: tính trung bình của dữ liệu, lấy từng giá trị trừ đi trung bình, bình phương từng độ lệch rồi cộng các bình phương lại. Chúng chỉ tách nhau ở bước chia cuối cùng. Độ lệch chuẩn tổng thể, ký hiệu bằng chữ Hy Lạp sigma (σ), chia tổng bình phương độ lệch đó cho n, tức tổng số giá trị, rồi lấy căn bậc hai. Độ lệch chuẩn mẫu, ký hiệu s, lại chia chính tổng đó cho n - 1 rồi mới lấy căn bậc hai -- thay đổi này được gọi là hiệu chỉnh Bessel.
Vì n - 1 luôn là số chia nhỏ hơn n (với n lớn hơn 1), độ lệch chuẩn mẫu luôn lớn hơn một chút so với độ lệch chuẩn tổng thể tính từ đúng những con số ấy. Hai công thức không phải là hai phương pháp cạnh tranh cho cùng một câu hỏi; chúng trả lời hai câu hỏi khác nhau về cùng một bộ dữ liệu, và chọn nhầm công thức sẽ tạo ra câu trả lời chệch một cách hệ thống so với câu hỏi bạn thực sự muốn đặt ra.
Ví dụ tính toán: cùng tám con số, hai kết quả
Lấy bộ dữ liệu 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). Bước 1: trung bình là (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Bước 2: các độ lệch so với trung bình là -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, và bình phương từng độ lệch cho 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, cộng lại bằng 32. Từ một tổng bình phương độ lệch duy nhất này, hai công thức chỉ khác nhau ở phép chia cuối cùng.
Độ lệch chuẩn tổng thể: chia 32 cho n = 8, được phương sai tổng thể bằng 4, và căn bậc hai của 4 đúng bằng 2. Độ lệch chuẩn mẫu: chia chính số 32 đó cho n - 1 = 7, được phương sai mẫu 32 / 7 = 4,571429 (làm tròn tới sáu chữ số thập phân), và căn bậc hai của 4,571429 xấp xỉ 2,13809. Bảng dưới đây đặt cả hai phép tính cạnh nhau từ cùng một tổng khởi đầu.
| Bước | Dạng tổng thể (chia cho n) | Dạng mẫu (chia cho n - 1) |
|---|---|---|
| Tổng bình phương độ lệch | 32 | 32 |
| Số chia | n = 8 | n - 1 = 7 |
| Phương sai | 32 / 8 = 4 | 32 / 7 = 4,571429 |
| Độ lệch chuẩn | sqrt(4) = 2 | sqrt(4,571429) = 2,13809 |
Vì sao chia cho n - 1? Giải thích hiệu chỉnh Bessel
Trung bình mẫu dùng trong phép tính độ lệch lại chính được tính từ đúng bộ dữ liệu mà ta đang đo độ phân tán, và về mặt toán học nó chắc chắn là giá trị làm cực tiểu tổng bình phương độ lệch cho riêng mẫu đó. Điều này có nghĩa các bình phương độ lệch đo quanh trung bình mẫu, tính trung bình, nhỏ hơn một chút so với các bình phương độ lệch đo quanh trung bình thật nhưng chưa biết của tổng thể -- nên nếu chỉ chia cho n thì sẽ ước lượng thấp phương sai tổng thể một cách hệ thống khi làm việc với một mẫu.
Chia cho n - 1 thay vì n làm kết quả tăng lên vừa đủ để bù lại độ chệch xuống này về mặt trung bình, khiến phương sai mẫu trở thành ước lượng không chệch của phương sai tổng thể qua các lần lấy mẫu lặp lại. Hiệu chỉnh này mang tên hiệu chỉnh Bessel, theo nhà thiên văn học và toán học thế kỷ 19 Friedrich Bessel. Tác động của nó lớn nhất với các mẫu nhỏ -- với n = 8, hai số chia 8 và 7 chênh nhau 12,5% -- và giảm dần tới mức không đáng kể khi n lên tới hàng trăm hay hàng nghìn, vì n và n - 1 hội tụ về tỷ lệ với nhau.
Bạn đang có tổng thể hay một mẫu?
Chỉ dùng độ lệch chuẩn tổng thể (chia cho n) khi bộ dữ liệu của bạn chính là toàn bộ nhóm mà bạn quan tâm và bạn không có ý định khái quát ra ngoài nhóm đó -- ví dụ tuổi của tất cả cầu thủ hiện có trong một đội thể thao cụ thể, hoặc điểm thi của toàn bộ học sinh trong một lớp cụ thể, khi câu hỏi chỉ nói về đội đó hoặc lớp đó chứ không rộng hơn.
Dùng độ lệch chuẩn mẫu (chia cho n - 1) mỗi khi dữ liệu của bạn là một tập con được rút ra từ, hoặc nhằm đại diện cho, một tổng thể lớn hơn mà bạn muốn rút ra kết luận -- ví dụ một khảo sát 500 khách hàng dùng để ước lượng mức hài lòng của toàn bộ khách hàng, những người tham gia một thử nghiệm lâm sàng dùng để ước lượng hiệu quả trên quần thể bệnh nhân rộng hơn, hoặc một lô đo lường kiểm soát chất lượng dùng để mô tả cả một dây chuyền sản xuất. Đây là tình huống phổ biến hơn nhiều trong thống kê ứng dụng, và đó là lý do phần lớn phần mềm thống kê mặc định dùng công thức mẫu (n - 1) trừ khi được chỉ định khác.
Lựa chọn này thực sự quan trọng đến mức nào?
Với các mẫu rất nhỏ, khoảng cách giữa hai công thức khá lớn về mặt tỷ lệ và chọn sai có thể làm méo đáng kể các kết quả phía sau, bao gồm khoảng tin cậy và điểm Z vốn được xây trực tiếp trên độ lệch chuẩn. Với ví dụ n = 8 ở trên, giá trị mẫu (2,13809) lớn hơn giá trị tổng thể (2) khoảng 6,9%, một khoảng cách đủ lớn để làm bề rộng của một khoảng tin cậy dịch chuyển với biên độ tương tự.
Khi cỡ mẫu tăng lên, n và n - 1 ngày càng gần nhau về tỷ lệ, và hai độ lệch chuẩn hội tụ: với mẫu 1.000, chia cho 999 thay vì 1.000 chỉ làm kết quả thay đổi khoảng 0,05%. Trong bối cảnh mẫu lớn, lựa chọn này hiếm khi làm thay đổi kết luận thực tế, nhưng vẫn nên áp dụng đúng quy ước, vừa để nhất quán với thực hành thống kê chuẩn mực, vừa vì các trường hợp mẫu nhỏ -- nơi khác biệt là lớn nhất -- lại chính là lúc làm đúng có ý nghĩa nhất.
Câu hỏi thường gặp
Độ lệch chuẩn mẫu và độ lệch chuẩn tổng thể khác nhau thế nào?
Độ lệch chuẩn tổng thể chia tổng bình phương độ lệch so với trung bình cho n (số lượng giá trị) và đúng khi bộ dữ liệu chính là toàn bộ tổng thể mà ta quan tâm. Độ lệch chuẩn mẫu chia chính tổng đó cho n - 1 và đúng khi dữ liệu là một mẫu dùng để ước lượng cho một tổng thể lớn hơn. Với cùng dữ liệu, giá trị mẫu luôn lớn hơn giá trị tổng thể một chút, vì nó chia cho một số nhỏ hơn.
Vì sao với mẫu ta lại chia cho n - 1?
Vì trung bình mẫu được tính từ chính dữ liệu dùng để đo độ phân tán, về mặt toán học nó là giá trị làm cực tiểu tổng bình phương độ lệch của mẫu đó, khiến các độ lệch này nhỏ hơn một cách hệ thống so với độ lệch quanh trung bình thật của tổng thể. Chia cho n - 1 thay vì n, một hiệu chỉnh mang tên hiệu chỉnh Bessel, bù lại điều này và biến phương sai mẫu thành ước lượng không chệch của phương sai tổng thể.
Với một khảo sát hay thí nghiệm thì nên dùng công thức nào?
Hãy dùng độ lệch chuẩn mẫu (n - 1) mỗi khi dữ liệu của bạn là một tập con nhằm đại diện cho một tổng thể lớn hơn -- điều này bao trùm đại đa số các khảo sát, thí nghiệm và mẫu kiểm soát chất lượng. Chỉ dùng độ lệch chuẩn tổng thể (n) khi bộ dữ liệu là toàn bộ nhóm mà bạn đang nghiên cứu và không có ý định khái quát ra ngoài nhóm đó.
Trên thực tế hai kết quả chênh nhau bao nhiêu?
Với ví dụ đã tính (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9; n = 8), độ lệch chuẩn tổng thể đúng bằng 2 còn độ lệch chuẩn mẫu xấp xỉ 2,13809, chênh khoảng 6,9%. Khoảng cách này thu hẹp khi cỡ mẫu tăng: với n = 1.000, chia cho 999 thay vì 1.000 chỉ làm kết quả thay đổi khoảng 0,05%, khiến lựa chọn ít quan trọng hơn nhiều với mẫu lớn.
Hiệu chỉnh n - 1 có ảnh hưởng tới trung bình không?
Không. Trung bình luôn là tổng đơn giản của các giá trị chia cho số lượng n, bất kể dữ liệu đại diện cho một mẫu hay một tổng thể; hiệu chỉnh Bessel chỉ áp dụng cho các phép tính độ lệch chuẩn và phương sai, chứ không áp dụng cho bản thân trung bình.
Tài liệu tham khảo
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.