Hiểu bốn kết quả
Bảng dưới đây trình bày từng kết quả cho ví dụ P(A) = 50%, P(B) = 30%, với giả định độc lập.
| Kết cục | Công thức | Giá trị ví dụ |
|---|---|---|
| Cả A và B | P(A) x P(B) | 0.5 x 0.3 = 15% |
| Ít nhất một (A hoặc B) | P(A) + P(B) - P(A)P(B) | 0.5 + 0.3 - 0.15 = 65% |
| A không xảy ra | 1 - P(A) | 1 - 0.5 = 50% |
| Không sự kiện nào xảy ra | (1 - P(A)) x (1 - P(B)) | 0.5 x 0.7 = 35% |
- Mọi kết quả đều giả định A và B độc lập. Nếu các sự kiện ảnh hưởng lẫn nhau (sự kiện phụ thuộc), các công thức này không áp dụng được và cần dùng xác suất có điều kiện.
- 'Ít nhất một xảy ra' và 'không sự kiện nào xảy ra' là hai phần bù của nhau: xác suất của chúng luôn cộng lại bằng 100%.
- Xác suất mô tả tần suất trong dài hạn qua nhiều lần lặp lại; khả năng 15% không có nghĩa là sự kiện sẽ xảy ra đúng 15 lần trong 100 lần thử tiếp theo.
Xác suất của các sự kiện kết hợp là gì?
Xác suất là một số nằm giữa 0 và 1 (hay 0% và 100%) diễn tả khả năng xảy ra của một sự kiện: 0 nghĩa là bất khả thi, 1 nghĩa là chắc chắn. Khi xét hai sự kiện cùng lúc, các quy tắc xác suất chuẩn xác định cách xác suất riêng của chúng kết hợp thành xác suất của những kết cục chung như 'cả hai cùng xảy ra' hoặc 'ít nhất một xảy ra'.
Máy tính này giả định hai sự kiện là độc lập: biết rằng một sự kiện đã xảy ra không cho bạn thông tin gì về việc sự kiện kia có xảy ra hay không. Tung đồng xu, gieo xúc xắc riêng biệt và các lần rút ngẫu nhiên không liên quan là những ví dụ kinh điển về tính độc lập. Dưới giả định độc lập, xác suất cả hai sự kiện cùng xảy ra đơn giản là tích của các xác suất riêng: P(A and B) = P(A) x P(B).
Giả định độc lập là thiết yếu và phải được đối chiếu với tình huống thực tế, chứ không mặc định là đúng. Rút hai lá bài từ cùng một bộ mà không hoàn lại, hoặc hai hiện tượng thời tiết trong cùng một ngày, là phụ thuộc — kết quả đầu tiên làm thay đổi xác suất cho kết quả thứ hai — và khi đó quy tắc nhân sẽ đánh giá thấp hoặc đánh giá cao xác suất đồng thời thực sự. Với các sự kiện phụ thuộc, cần dùng xác suất có điều kiện: P(A and B) = P(A) x P(B given A).
Cách dùng máy tính xác suất này
- Nhập xác suất của sự kiện A dưới dạng phần trăm nằm giữa 0 và 100, ví dụ 50 cho một đồng xu cân đối ra mặt ngửa.
- Nhập xác suất của sự kiện B dưới dạng phần trăm, ví dụ 30.
- Xác nhận rằng hai sự kiện thực sự độc lập — việc một sự kiện xảy ra không được làm thay đổi khả năng của sự kiện kia. Các công thức dùng ở đây chỉ hợp lệ dưới giả định đó.
- Đọc bốn xác suất kết hợp: cả hai cùng xảy ra, ít nhất một xảy ra, A không xảy ra, và không sự kiện nào xảy ra.
Quy tắc xác suất cho sự kiện độc lập
Quy tắc nhân (cả hai cùng xảy ra): với các sự kiện độc lập, P(A and B) = P(A) x P(B). Quy tắc phần bù: P(not A) = 1 - P(A). Không sự kiện nào xảy ra: P(neither) = (1 - P(A)) x (1 - P(B)), tức là áp dụng quy tắc nhân cho hai phần bù. Ít nhất một xảy ra (bao hàm - loại trừ): P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B).
Ví dụ tính tay với P(A) = 50% và P(B) = 30%, viết thành 0,5 và 0,3. Cả hai: 0,5 x 0,3 = 0,15 = 15%. Ít nhất một: 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65 = 65%. Không A: 1 - 0,5 = 0,5 = 50%. Không sự kiện nào: 0,5 x 0,7 = 0,35 = 35%. Để kiểm tra tính nhất quán, 'ít nhất một' và 'không sự kiện nào' là hai phần bù của nhau: 65% + 35% = 100%.
Việc trừ đi P(A and B) trong công thức 'ít nhất một' ngăn chặn đếm trùng: những kết cục mà cả hai sự kiện cùng xảy ra nếu không sẽ bị đếm một lần trong P(A) và thêm một lần nữa trong P(B).
Những sai lầm thường gặp
- Cộng xác suất cho 'A hoặc B' mà không trừ phần chồng lấn: chỉ riêng P(A) + P(B) sẽ đếm trùng những kết cục mà cả hai cùng xảy ra, và thậm chí có thể vượt quá 100%.
- Nhân xác suất của các sự kiện phụ thuộc như thể chúng độc lập — rút bài mà không hoàn lại là phản ví dụ kinh điển.
- Ngụy biện của con bạc: coi các phép thử độc lập như thể kết quả quá khứ làm thay đổi xác suất tương lai; một đồng xu cân đối đã ra mặt ngửa năm lần vẫn có khả năng 50% ra mặt ngửa ở lần tung kế tiếp.
- Nhầm lẫn 'cả hai cùng xảy ra' với 'ít nhất một xảy ra' — với P(A) = 50% và P(B) = 30% thì đó là 15% và 65%, hai đại lượng rất khác nhau.
Câu hỏi thường gặp
Hai sự kiện độc lập nghĩa là gì?
Hai sự kiện là độc lập khi việc một sự kiện xảy ra không làm thay đổi xác suất của sự kiện kia — một cách hình thức, P(A and B) = P(A) x P(B). Các lần tung đồng xu riêng biệt và các lần gieo xúc xắc không liên quan là độc lập; rút hai lá bài từ cùng một bộ mà không hoàn lại thì không, vì lần rút đầu làm thay đổi thành phần của bộ bài.
Làm sao tính xác suất cả hai sự kiện cùng xảy ra?
Với các sự kiện độc lập, hãy nhân các xác suất riêng: P(A and B) = P(A) x P(B). Ví dụ, với P(A) = 50% và P(B) = 30%, xác suất cả hai cùng xảy ra là 0,5 x 0,3 = 0,15, tức 15%. Quy tắc nhân này chỉ hợp lệ khi các sự kiện độc lập.
Làm sao tính xác suất ít nhất một sự kiện xảy ra?
Dùng quy tắc bao hàm - loại trừ: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B). Với các sự kiện độc lập ở mức 50% và 30%, đó là 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65, tức 65%. Tương đương, hãy tính 1 trừ đi xác suất không sự kiện nào xảy ra: 1 - (0,5 x 0,7) = 0,65.
Tại sao không thể chỉ cộng hai xác suất cho 'A hoặc B'?
Vì những kết cục mà cả hai sự kiện cùng xảy ra sẽ bị đếm hai lần — một lần trong P(A) và một lần trong P(B). Cộng 50% với 30% cho ra 80%, nhưng đáp án đúng cho các sự kiện độc lập là 65% sau khi trừ đi phần chồng lấn 15%. Phép cộng đơn thuần chỉ hợp lệ với các sự kiện xung khắc, tức những sự kiện theo định nghĩa không thể cùng xảy ra.
Nếu các sự kiện của tôi không độc lập thì sao?
Khi đó các công thức này không áp dụng được. Với các sự kiện phụ thuộc, xác suất đồng thời dùng một xác suất có điều kiện: P(A and B) = P(A) x P(B given A), trong đó P(B given A) là xác suất của B khi đã biết A xảy ra. Ví dụ, khả năng rút được hai lá át từ một bộ bài chuẩn mà không hoàn lại là (4/52) x (3/51), chứ không phải (4/52) x (4/52).
Tài liệu tham khảo
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (probability foundations). nist.gov.
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (independence, inclusion-exclusion and conditional probability).
- Weisstein, Eric W. "Independent Events." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.