Hiểu trung vị, mốt và khoảng biến thiên
Mỗi thống kê mô tả một khía cạnh khác nhau của dữ liệu. Bảng dưới đây tóm tắt điều mà mỗi thống kê cho bạn biết.
| Thống kê | Mô tả điều gì | Độ nhạy với ngoại lai |
|---|---|---|
| Trung vị | Điểm giữa của dữ liệu đã sắp xếp; 50% giá trị nằm tại hoặc dưới nó | Thấp — chỉ phụ thuộc vào thứ tự các giá trị |
| Mốt | Giá trị xuất hiện nhiều nhất; đỉnh của phân phối | Thấp — không bị ảnh hưởng bởi giá trị cực đoan |
| Khoảng biến thiên | Toàn bộ độ trải từ giá trị nhỏ nhất đến lớn nhất | Cao — được quyết định hoàn toàn bởi hai giá trị cực đoan |
- Khi trung bình cộng lớn hơn trung vị một cách rõ rệt, dữ liệu thường lệch phải (có đuôi các giá trị lớn, như với thu nhập); trung bình thấp hơn trung vị gợi ý dữ liệu lệch trái.
- Một tập dữ liệu có thể không có mốt (mọi giá trị đều khác nhau), có một mốt, hoặc có nhiều mốt; máy tính này liệt kê mọi giá trị đồng hạng ở tần suất cao nhất.
- Trung vị của một mẫu ước lượng trung vị của tổng thể; như mọi thống kê mẫu, nó chịu biến thiên lấy mẫu.
Trung vị, mốt và khoảng biến thiên là gì?
Trung vị là giá trị chia đôi một tập dữ liệu đã sắp xếp. Để tìm nó, hãy sắp xếp các giá trị từ nhỏ nhất đến lớn nhất; với số lượng giá trị lẻ, trung vị là giá trị đơn lẻ nằm giữa, còn với số lượng chẵn thì đó là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa. Vì trung vị chỉ phụ thuộc vào thứ tự của dữ liệu chứ không phụ thuộc độ lớn của các giá trị cực đoan, nó bền vững trước giá trị ngoại lai.
Mốt là giá trị (hoặc các giá trị) xuất hiện thường xuyên nhất trong dữ liệu. Một tập dữ liệu có thể có một mốt, nhiều mốt (ví dụ dữ liệu hai đỉnh), hoặc không có mốt nào khi mọi giá trị chỉ xuất hiện đúng một lần. Mốt là thước đo xu hướng trung tâm duy nhất còn áp dụng được cho dữ liệu định danh.
Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Đây là thước đo độ phân tán đơn giản nhất, nhưng vì chỉ dùng hai quan sát cực đoan nên nó rất nhạy cảm với ngoại lai; độ lệch chuẩn hoặc khoảng tứ phân vị mô tả độ phân tán một cách bền vững hơn.
Cách dùng máy tính trung vị này
- Nhập các số của bạn, phân tách bằng ;, ví dụ: 7; 12; 3; 9; 21; 14. Máy tính sẽ sắp xếp chúng giúp bạn.
- Đọc trung vị. Khi số lượng giá trị là chẵn, đó là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa danh sách đã sắp xếp.
- Đọc mốt: giá trị hoặc các giá trị xuất hiện nhiều nhất. Một dấu gạch ngang được hiển thị khi không có giá trị nào lặp lại, nghĩa là dữ liệu không có mốt.
- Đọc khoảng biến thiên, tức lớn nhất trừ nhỏ nhất — một chỉ dấu nhanh cho biết dữ liệu phân tán đến mức nào.
Cách tính trung vị, mốt và khoảng biến thiên
Trung vị: sắp xếp n giá trị. Nếu n lẻ, trung vị là giá trị ở vị trí (n + 1) / 2. Nếu n chẵn, trung vị là trung bình cộng của các giá trị ở vị trí n/2 và n/2 + 1.
Ví dụ minh họa: các giá trị 7, 12, 3, 9, 21, 14. Sau khi sắp xếp: 3, 7, 9, 12, 14, 21. Có n = 6 giá trị (chẵn), nên trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 3 và thứ 4: (9 + 12) / 2 = 10,5. Không giá trị nào lặp lại, nên không có mốt. Khoảng biến thiên là 21 - 3 = 18.
Ví dụ thứ hai có mốt: 2, 4, 4, 7, 9. Sau khi sắp xếp, giá trị ở giữa (thứ 3) là 4, nên trung vị là 4. Giá trị 4 xuất hiện hai lần trong khi mọi giá trị khác chỉ xuất hiện một lần, nên mốt là 4. Khoảng biến thiên là 9 - 2 = 7.
Những lỗi thường gặp
- Quên sắp xếp dữ liệu trước khi xác định giá trị ở giữa — trung vị được định nghĩa trên danh sách đã sắp xếp.
- Lấy một trong hai giá trị ở giữa thay vì trung bình cộng của chúng khi số lượng là chẵn: với 3, 7, 9, 12, 14, 21 thì trung vị là 10,5, không phải 9 hay 12.
- Cho rằng mọi tập dữ liệu đều có mốt — khi không giá trị nào lặp lại thì mốt không tồn tại.
- Dùng khoảng biến thiên như một thước đo phân tán bền vững; nó chỉ phụ thuộc vào hai giá trị cực đoan nhất và bỏ qua mọi thứ nằm giữa.
Câu hỏi thường gặp
Làm thế nào để tìm trung vị của một tập dữ liệu?
Sắp xếp các giá trị từ nhỏ nhất đến lớn nhất. Nếu số lượng là lẻ, trung vị là giá trị ở giữa. Nếu số lượng là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa. Ví dụ, với 7, 12, 3, 9, 21, 14 thì danh sách đã sắp xếp là 3, 7, 9, 12, 14, 21 và trung vị là (9 + 12) / 2 = 10,5.
Khi nào trung vị tốt hơn trung bình cộng?
Khi dữ liệu bị lệch hoặc chứa giá trị ngoại lai. Trung vị chỉ phụ thuộc vào thứ tự của các giá trị, nên một quan sát cực đoan đơn lẻ hầu như không làm nó dịch chuyển, trong khi trung bình cộng có thể thay đổi đáng kể. Thu nhập và giá nhà thường được tóm tắt bằng trung vị vì lý do này.
Một tập dữ liệu có thể có nhiều hơn một mốt không?
Có. Nếu hai giá trị trở lên đồng hạng ở tần suất cao nhất, tập dữ liệu là đa mốt và tất cả các giá trị đồng hạng đều là mốt. Ví dụ, trong 1, 2, 2, 5, 7, 7, 9 thì cả 2 và 7 đều xuất hiện hai lần, nên dữ liệu có hai mốt là 2 và 7. Nếu không giá trị nào lặp lại, tập dữ liệu không có mốt.
Khoảng biến thiên cho tôi biết điều gì?
Khoảng biến thiên là giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất — toàn bộ độ trải của dữ liệu. Nó nhanh để tính và dễ diễn giải, nhưng chỉ dùng hai giá trị cực đoan nhất, nên một ngoại lai có thể thổi phồng nó đáng kể. Để có bức tranh đầy đủ hơn về độ phân tán, hãy dùng độ lệch chuẩn hoặc khoảng tứ phân vị.
Trung vị có luôn là một giá trị có thật trong dữ liệu không?
Không phải lúc nào cũng vậy. Với số lượng giá trị lẻ, trung vị là một trong các giá trị quan sát được. Với số lượng chẵn, nó là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa, con số này có thể không xuất hiện trong dữ liệu — ví dụ, trung vị 10,5 của danh sách 3, 7, 9, 12, 14, 21 không phải là một trong sáu quan sát.
Tài liệu tham khảo
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (median, mode and resistant measures).
- Weisstein, Eric W. "Statistical Median." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.