Hiểu giá trị trung bình của bạn
Trung bình cộng là một trong nhiều thước đo xu hướng trung tâm. Bảng dưới đây so sánh chúng trên dữ liệu ví dụ 12, 15, 18, 22, 9.
| Thước đo | Giá trị cho 12, 15, 18, 22, 9 | Ghi chú |
|---|---|---|
| Trung bình cộng | 15,2 | Tổng / số lượng; dùng mọi giá trị; nhạy cảm với ngoại lai |
| Trung vị | 15 | Giá trị ở giữa của danh sách đã sắp xếp 9, 12, 15, 18, 22 |
| Giá trị nhỏ nhất | 9 | Số nhỏ nhất |
| Giá trị lớn nhất | 22 | Số lớn nhất |
| Khoảng biến thiên | 13 | Lớn nhất trừ nhỏ nhất; thước đo độ phân tán đơn giản |
- Trung bình cộng nhạy cảm với giá trị cực đoan: một số rất lớn hoặc rất nhỏ có thể làm nó dịch chuyển đáng kể. Hãy so sánh trung bình với trung vị để phát hiện độ lệch.
- Trung bình của một mẫu ước lượng trung bình của tổng thể mà mẫu được lấy ra, nhưng do biến thiên lấy mẫu nên chúng thường khác nhau; xem máy tính khoảng tin cậy.
- Lấy trung bình của các tỷ lệ phần trăm hay tỷ suất chỉ hợp lệ khi chúng có cùng mẫu số cơ sở; nếu không, cần dùng trung bình có trọng số.
Giá trị trung bình là gì?
Giá trị trung bình — chính thức gọi là trung bình cộng — là thước đo trung tâm của tập dữ liệu được dùng phổ biến nhất. Nó được tính bằng cách cộng tất cả các giá trị rồi chia cho số lượng giá trị. Trung bình cộng làm cân bằng dữ liệu: độ lệch của các giá trị nằm trên trung bình triệt tiêu chính xác độ lệch của các giá trị nằm dưới.
Trung bình cộng sử dụng mọi giá trị trong tập dữ liệu, điều này khiến nó hiệu quả nhưng cũng nhạy cảm với giá trị ngoại lai. Chỉ một giá trị cực đoan có thể kéo trung bình ra xa khối dữ liệu chính — ví dụ, thêm giá trị 100 vào danh sách 12, 15, 18, 22, 9 làm trung bình tăng từ 15,2 lên khoảng 29,3. Với dữ liệu lệch như thu nhập hay giá nhà, trung vị thường được báo cáo kèm theo hoặc thay cho trung bình cộng.
Từ 'trung bình' đôi khi được dùng một cách lỏng lẻo cho các thước đo trung tâm khác, bao gồm trung vị (giá trị ở giữa) và mốt (giá trị xuất hiện nhiều nhất). Trong sách thống kê và trong máy tính này, trung bình có nghĩa là trung bình cộng trừ khi được nói rõ khác đi.
Cách dùng máy tính trung bình này
- Nhập các số của bạn, phân tách bằng ;, ví dụ: 12; 15; 18; 22; 9. Chấp nhận số thập phân và số âm.
- Đọc giá trị trung bình (trung bình cộng), chính là tổng chia cho số lượng.
- Kiểm tra các thống kê hỗ trợ — tổng, số lượng, giá trị nhỏ nhất và lớn nhất — để xác nhận máy tính đã đọc danh sách của bạn đúng như ý.
- Để kiểm tra bằng tay, cộng tất cả các giá trị rồi chia tổng cho số lượng giá trị bạn đã nhập.
Công thức tính trung bình
Trung bình cộng của n giá trị x1, x2, ..., xn là tổng của chúng chia cho n.
Ví dụ minh họa: các giá trị 12, 15, 18, 22, 9. Bước 1 — cộng lại: 12 + 15 + 18 + 22 + 9 = 76. Bước 2 — đếm: n = 5. Bước 3 — chia: 76 / 5 = 15,2. Giá trị trung bình là 15,2.
Trung bình luôn nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của dữ liệu. Nó bằng giá trị mà mỗi quan sát sẽ nhận được nếu tổng được chia đều — chia đều 76 cho 5 thì mỗi phần được 15,2.
Những lỗi thường gặp
- Lấy trung bình của các trung bình mà không đánh trọng số: trung bình của hai giá trị trung bình nhóm chỉ bằng trung bình tổng thể khi hai nhóm có cùng cỡ.
- Dùng trung bình cộng cho dữ liệu lệch mạnh (thu nhập, giá nhà) nơi một vài giá trị lớn chiếm ưu thế — trung vị thường đại diện tốt hơn.
- Bỏ sót một giá trị khi đếm n — số chia phải đúng bằng số lượng giá trị đã cộng.
- Lấy trung bình cộng của các tỷ suất như vận tốc trên những quãng đường bằng nhau — trường hợp đó cần trung bình điều hòa (xem máy tính giá trị trung bình).
Câu hỏi thường gặp
Làm thế nào để tính giá trị trung bình?
Cộng tất cả các số, rồi chia tổng cho số lượng các số đó. Ví dụ, với 12, 15, 18, 22 và 9: tổng là 76 và có 5 số, nên giá trị trung bình là 76 / 5 = 15,2.
Trung bình, trung bình cộng và trung vị khác nhau thế nào?
Trong sử dụng hằng ngày, 'trung bình' thường có nghĩa là trung bình cộng: tổng chia cho số lượng. Trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp, còn mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Cả ba đều là thước đo xu hướng trung tâm, nhưng chúng có thể khác nhau đáng kể khi dữ liệu bị lệch hoặc chứa giá trị ngoại lai.
Khi nào giá trị trung bình gây hiểu lầm?
Khi dữ liệu bị lệch hoặc chứa giá trị ngoại lai. Vì trung bình cộng dùng mọi giá trị nên một quan sát cực đoan có thể đẩy nó ra xa nơi phần lớn dữ liệu nằm. Ví dụ, thu nhập trung bình của một nhóm bị kéo lên bởi một người có thu nhập rất cao, trong khi thu nhập trung vị không bị ảnh hưởng. Báo cáo cả trung bình lẫn trung vị sẽ cho bức tranh đầy đủ hơn.
Giá trị trung bình có thể là một số không có trong danh sách không?
Có, và thường là như vậy. Trung bình của 12, 15, 18, 22 và 9 là 15,2, con số này không xuất hiện trong danh sách. Trung bình là điểm cân bằng của dữ liệu, không nhất thiết là một giá trị được quan sát — số con trung bình mỗi gia đình là 1,9 là ví dụ kinh điển.
Giá trị ngoại lai ảnh hưởng đến trung bình như thế nào?
Mỗi giá trị đóng góp như nhau vào tổng, nên một giá trị nằm xa các giá trị khác sẽ kéo trung bình về phía nó. Thêm 100 vào danh sách 12, 15, 18, 22, 9 làm trung bình đổi từ 15,2 thành (76 + 100) / 6 = 29,33 (đã làm tròn). Trung vị dịch chuyển ít hơn nhiều, đó là lý do nó được ưa dùng cho dữ liệu dễ có ngoại lai.
Tài liệu tham khảo
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standard coverage of the arithmetic mean).
- Weisstein, Eric W. "Arithmetic Mean." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.