Hiểu kết quả phân phối chuẩn của bạn
Bảng dưới đây liệt kê xác suất tích lũy chuẩn hóa Φ(z) tại các điểm z là số nguyên, phù hợp với các bảng phân phối chuẩn hóa tiêu chuẩn.
| Điểm z | Φ(z) — xác suất tích lũy dưới z |
|---|---|
| −3 | 0,13% |
| −2 | 2,28% |
| −1 | 15,87% |
| 0 | 50,00% |
| +1 | 84,13% |
| +2 | 97,72% |
| +3 | 99,87% |
- Quy tắc thực nghiệm: khoảng 68,27% phân phối chuẩn nằm trong phạm vi ±1 độ lệch chuẩn quanh trung bình, khoảng 95,45% nằm trong phạm vi ±2 độ lệch chuẩn, và khoảng 99,73% nằm trong phạm vi ±3 độ lệch chuẩn.
- Ở chế độ "nằm giữa", cận trên b phải lớn hơn hoặc bằng x; máy tính sẽ không trả về kết quả nếu b nhỏ hơn x.
- Vì phân phối chuẩn là liên tục, xác suất của bất kỳ giá trị chính xác đơn lẻ nào cũng bằng 0 — chỉ các khoảng giá trị (nhỏ hơn, lớn hơn, nằm giữa) mới có xác suất khác 0.
- Các phép tính này giả định biến thực sự có phân phối chuẩn. Dữ liệu bị lệch, bị giới hạn hoặc có đuôi dày có thể sai lệch đáng kể so với các xác suất này, dù điểm z vẫn có thể tính được.
Phân phối chuẩn là gì?
Phân phối chuẩn (phân phối Gauss) là một phân phối xác suất liên tục, đối xứng, hình chuông, được mô tả đầy đủ bởi hai tham số: giá trị trung bình (μ) xác định tâm phân phối, và độ lệch chuẩn (σ) xác định độ phân tán. Nhiều đại lượng tự nhiên và đo lường — chiều cao, sai số đo lường, điểm số bài kiểm tra chuẩn hóa — xấp xỉ phân phối chuẩn, đó là lý do phân phối này giữ vai trò trung tâm trong lý thuyết và thực hành thống kê.
Vì một phân phối liên tục gán xác suất cho các khoảng giá trị chứ không phải từng điểm riêng lẻ, máy tính này trả lời các câu hỏi dạng 'tỷ lệ giá trị nhỏ hơn x là bao nhiêu', 'lớn hơn x' hoặc 'nằm giữa x và b' — chứ không bao giờ là 'xác suất đúng bằng x là bao nhiêu', vì giá trị này luôn bằng 0 đối với một phân phối liên tục.
Mọi phân phối chuẩn đều có thể chuyển đổi về phân phối chuẩn hóa (trung bình 0, độ lệch chuẩn 1) bằng cách tính điểm z, z = (x − μ) / σ. Xác suất ứng với một khoảng giá trị x sau đó được tra từ hàm phân phối tích lũy chuẩn hóa (CDF), thường ký hiệu Φ(z), cho biết tỷ lệ phân phối nằm ở hoặc dưới z.
Quy tắc thực nghiệm (còn gọi là quy tắc 68-95-99,7) tóm tắt độ phân tán của phân phối chuẩn hóa: khoảng 68,27% giá trị nằm trong phạm vi 1 độ lệch chuẩn quanh trung bình, khoảng 95,45% nằm trong phạm vi 2 độ lệch chuẩn, và khoảng 99,73% nằm trong phạm vi 3 độ lệch chuẩn.
Cách sử dụng máy tính phân phối chuẩn này
- Nhập giá trị trung bình (μ) và độ lệch chuẩn (σ) của phân phối. Độ lệch chuẩn phải lớn hơn 0.
- Chọn chế độ tính: nhỏ hơn một giá trị, lớn hơn một giá trị, hoặc nằm giữa hai giá trị.
- Nhập giá trị x. Ở chế độ "nằm giữa", nhập thêm cận trên b, giá trị này phải lớn hơn hoặc bằng x.
- Đọc kết quả xác suất (dưới dạng phần trăm và tỷ lệ từ 0 đến 1), cùng với điểm z tương ứng của x.
Công thức tính xác suất phân phối chuẩn
Mọi phép tính đều bắt đầu bằng việc chuẩn hóa x thành điểm z: z = (x − μ) / σ. Xác suất sau đó được tra từ hàm CDF chuẩn hóa, Φ(z), vốn không có công thức dạng đóng đơn giản và phải được tính bằng phương pháp số.
Chế độ nhỏ hơn: P(X < x) = Φ(z). Chế độ lớn hơn: P(X > x) = 1 − Φ(z). Chế độ nằm giữa: P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ), trong đó zᵦ là điểm z của cận trên b.
Ví dụ minh họa (chế độ nhỏ hơn): trung bình = 100, độ lệch chuẩn = 15, x = 120. z = (120 − 100) / 15 = 1,3333. Tra Φ(1,3333) trên phân phối chuẩn hóa cho kết quả xấp xỉ 0,9088, vậy P(X < 120) ≈ 90,88%.
Ví dụ minh họa (chế độ nằm giữa, phân phối chuẩn hóa): trung bình = 0, độ lệch chuẩn = 1, nằm giữa −1 và +1. z dưới = −1, z trên = +1. Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6827, vậy P(−1 < X < 1) ≈ 68,27% — bước đầu tiên của quy tắc thực nghiệm.
Những lỗi thường gặp
- Chọn sai chế độ — "nhỏ hơn", "lớn hơn" và "nằm giữa" cho ra các xác suất khác nhau với cùng một x, và nhầm lẫn giữa chúng là nguồn lỗi thường gặp.
- Nhập cận trên b nhỏ hơn x ở chế độ "nằm giữa", đây không phải là khoảng hợp lệ đối với máy tính này.
- Coi xác suất của một giá trị chính xác đơn lẻ là có ý nghĩa — đối với một phân phối liên tục như phân phối chuẩn, P(X = x) luôn bằng 0.
- Giả định một bộ dữ liệu có phân phối chuẩn mà không kiểm tra — các xác suất trả về ở đây chỉ chính xác khi biến gốc xấp xỉ phân phối chuẩn.
- Nhầm lẫn độ lệch chuẩn với phương sai — máy tính này yêu cầu độ lệch chuẩn (σ), không phải bình phương của nó.
Câu hỏi thường gặp
Làm thế nào để tính xác suất phân phối chuẩn?
Chuyển giá trị thành điểm z bằng công thức z = (x − trung bình) / độ lệch chuẩn, sau đó tra xác suất tích lũy tương ứng trên phân phối chuẩn hóa. Đối với giá trị nhỏ hơn x, dùng trực tiếp Φ(z); đối với lớn hơn x, dùng 1 − Φ(z); đối với khoảng giữa x và b, lấy hiệu của hai xác suất tích lũy.
Quy tắc thực nghiệm là gì?
Quy tắc thực nghiệm (quy tắc 68-95-99,7) phát biểu rằng đối với một phân phối chuẩn, khoảng 68,27% giá trị nằm trong phạm vi 1 độ lệch chuẩn quanh trung bình, khoảng 95,45% nằm trong phạm vi 2 độ lệch chuẩn, và khoảng 99,73% nằm trong phạm vi 3 độ lệch chuẩn.
Điểm z là gì?
Điểm z cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn, được tính bằng z = (x − trung bình) / độ lệch chuẩn. Đây là bước trung gian mà máy tính này dùng để tra xác suất trên phân phối chuẩn hóa.
Tại sao xác suất của một giá trị chính xác luôn bằng 0?
Phân phối chuẩn là liên tục, nên xác suất chỉ được xác định trên các khoảng giá trị, không phải từng điểm riêng lẻ. Hỏi P(X = 120) chính xác về mặt toán học sẽ bằng 0; các câu hỏi có ý nghĩa là P(X < 120), P(X > 120), hoặc P(a < X < b).
Máy tính này có áp dụng được cho mọi bộ dữ liệu không?
Chỉ khi biến gốc xấp xỉ phân phối chuẩn. Nhiều biến trong thực tế xấp xỉ phân phối chuẩn, nhưng dữ liệu bị lệch, bị giới hạn (như số đếm hoặc tỷ lệ), hoặc có đuôi dày có thể cho ra xác suất sai lệch nếu bị áp đặt vào khuôn khổ này.
Sự khác biệt giữa chế độ 'nhỏ hơn' và 'nằm giữa' là gì?
"Nhỏ hơn" báo cáo xác suất tích lũy đến một giá trị đơn lẻ x, P(X < x). "Nằm giữa" báo cáo xác suất rơi vào một khoảng, P(x < X < b), là hiệu của hai xác suất tích lũy và cần cả giá trị dưới x lẫn cận trên b.
Tài liệu tham khảo
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).