Hiểu khoảng tin cậy của bạn
Độ rộng của khoảng phản ánh độ chính xác của ước lượng. Bảng dưới đây cho thấy khoảng tin cậy của ví dụ (trung bình 50, độ lệch chuẩn 8, n = 100) thay đổi thế nào theo mức tin cậy.
| Mức tin cậy | Giá trị z | Sai số biên | Khoảng tin cậy |
|---|---|---|---|
| 90% | 1.6449 | 1.316 | 48.684 - 51.316 |
| 95% | 1.96 | 1.568 | 48.432 - 51.568 |
| 99% | 2.5758 | 2.061 | 47.939 - 52.061 |
- Mức tin cậy cao hơn tạo ra khoảng rộng hơn: sự chắc chắn được mua bằng độ chính xác.
- Đây là khoảng dựa trên z. Với các mẫu nhỏ (n dưới khoảng 30) khi độ lệch chuẩn được ước lượng từ dữ liệu, phân phối t của Student cho một khoảng chính xác hơn và rộng hơn một chút.
- Khoảng tin cậy giả định mẫu là một mẫu ngẫu nhiên đơn giản và, với n nhỏ, giả định dữ liệu nền xấp xỉ chuẩn. Lấy mẫu bị chệch làm khoảng tin cậy mất hiệu lực bất kể nó rộng đến đâu.
- Tăng cỡ mẫu lên gấp bốn lần làm độ rộng của khoảng giảm còn một nửa, vì sai số chuẩn tỷ lệ với 1 / sqrt(n).
Khoảng tin cậy là gì?
Khoảng tin cậy là một dải giá trị được tính từ dữ liệu mẫu, được thiết kế để chứa tham số thực của tổng thể — ở đây là giá trị trung bình của tổng thể — với một tỷ lệ thành công dài hạn đã nêu. Mức tin cậy 95% nghĩa là nếu cùng một quy trình lấy mẫu được lặp lại nhiều lần, thì khoảng 95% các khoảng được dựng theo cách này sẽ chứa giá trị trung bình thực.
Khoảng tin cậy lấy trung bình mẫu làm tâm và mở rộng ra mỗi phía một sai số biên. Sai số biên là giá trị tới hạn (z) nhân với sai số chuẩn của trung bình, còn sai số chuẩn là độ lệch chuẩn chia cho căn bậc hai của cỡ mẫu. Mẫu lớn hơn làm co sai số chuẩn, và do đó co cả khoảng tin cậy, theo tỷ lệ với căn bậc hai của n: tăng cỡ mẫu lên gấp bốn lần sẽ làm độ rộng của khoảng giảm còn một nửa.
Cách đọc đúng một khoảng 95% là một phát biểu về quy trình, chứ không phải về bất kỳ khoảng đơn lẻ nào: nói rằng có xác suất 95% để giá trị trung bình thực nằm trong chính khoảng cụ thể này là không hoàn toàn chính xác — giá trị trung bình thực là một giá trị cố định, và mỗi khoảng đã tính hoặc là chứa nó, hoặc là không. Con số 95% chỉ mức độ thường xuyên mà phương pháp này thành công qua các mẫu lặp lại.
Cách dùng máy tính khoảng tin cậy này
- Nhập trung bình mẫu — giá trị trung bình của các số liệu bạn đã đo.
- Nhập độ lệch chuẩn. Hãy dùng độ lệch chuẩn mẫu (dạng n - 1) tính từ dữ liệu của bạn, hoặc giá trị của tổng thể nếu đã biết.
- Nhập cỡ mẫu n (ít nhất là 2) và chọn một mức tin cậy: 90%, 95% hoặc 99%.
- Đọc khoảng tin cậy, sai số biên và sai số chuẩn. Với các mẫu nhỏ (thường là n dưới 30) khi chưa biết độ lệch chuẩn của tổng thể, hãy lưu ý rằng khoảng dựa trên t sẽ rộng hơn một chút và chính xác hơn.
Công thức khoảng tin cậy
Khoảng dựa trên z cho một giá trị trung bình là: trung bình mẫu cộng hoặc trừ z nhân với (độ lệch chuẩn / sqrt(n)). Các giá trị z tới hạn là 1,6449 cho 90%, 1,96 cho 95% và 2,5758 cho 99% — những điểm của phân phối chuẩn tắc để lại đúng phần xác suất tương ứng ở hai đuôi.
Ví dụ tính tay: trung bình 50, độ lệch chuẩn 8, n = 100, mức tin cậy 95%. Bước 1 — sai số chuẩn: 8 / sqrt(100) = 8 / 10 = 0,8. Bước 2 — sai số biên: 1,96 x 0,8 = 1,568. Bước 3 — khoảng tin cậy: 50 - 1,568 = 48,432 và 50 + 1,568 = 51,568, vậy khoảng tin cậy 95% là từ 48,432 đến 51,568.
Máy tính này dùng phân phối chuẩn tắc (z), phù hợp khi đã biết độ lệch chuẩn của tổng thể hoặc khi mẫu đủ lớn. Khi mẫu nhỏ (thường là n dưới 30) và độ lệch chuẩn của tổng thể được ước lượng từ mẫu, phân phối t của Student với n - 1 bậc tự do cho một khoảng rộng hơn một chút và chính xác hơn; chênh lệch mờ dần khi n tăng lên.
Những sai lầm thường gặp
- Diễn giải khoảng 95% là '95% dữ liệu nằm trong dải này' — khoảng tin cậy mô tả mức bất định về giá trị trung bình, chứ không mô tả mức phân tán của từng quan sát.
- Nói rằng có xác suất 95% để giá trị trung bình thực nằm trong chính khoảng cụ thể này; con số 95% mô tả tỷ lệ thành công dài hạn của quy trình qua các mẫu lặp lại.
- Dùng khoảng z cho một mẫu nhỏ với độ lệch chuẩn được ước lượng, trong khi phân phối t mới là lựa chọn phù hợp.
- Nhập sai số chuẩn thay vì độ lệch chuẩn — máy tính đã tự chia cho sqrt(n) rồi.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao tính khoảng tin cậy 95%?
Hãy tính sai số chuẩn (độ lệch chuẩn chia cho căn bậc hai của cỡ mẫu), nhân nó với 1,96 để có sai số biên, rồi cộng và trừ sai số biên đó vào trung bình mẫu. Ví dụ: trung bình 50, độ lệch chuẩn 8, n = 100 cho SE = 0,8, sai số biên 1,568, và khoảng tin cậy từ 48,432 đến 51,568.
Mức tin cậy 95% thực sự có nghĩa là gì?
Nó mô tả hiệu năng dài hạn của phương pháp: nếu bạn liên tục rút các mẫu cùng cỡ và dựng một khoảng từ mỗi mẫu, thì khoảng 95% những khoảng đó sẽ chứa giá trị trung bình thực của tổng thể. Bất kỳ khoảng đơn lẻ nào cũng hoặc chứa giá trị trung bình thực, hoặc không — con số 95% là thuộc tính của quy trình, chứ không phải của một khoảng.
Khi nào nên dùng phân phối t thay cho z?
Hãy dùng phân phối t của Student khi mẫu nhỏ (quy tắc kinh nghiệm thường gặp là n dưới 30) và độ lệch chuẩn của tổng thể chưa biết, phải ước lượng từ mẫu. Phân phối t có đuôi dày hơn, tạo ra khoảng rộng hơn một chút phản ánh đúng phần bất định tăng thêm; với các mẫu lớn hơn, khoảng t và khoảng z trở nên gần như giống hệt nhau.
Làm sao để khoảng tin cậy của tôi hẹp hơn?
Có ba cách: tăng cỡ mẫu (độ rộng co lại theo tỷ lệ 1 / sqrt(n), nên tăng n gấp bốn lần sẽ làm độ rộng giảm còn một nửa), chấp nhận mức tin cậy thấp hơn (khoảng 90% hẹp hơn khoảng 99%), hoặc giảm mức biến thiên trong đo lường để bản thân độ lệch chuẩn nhỏ hơn.
Sai số chuẩn và độ lệch chuẩn khác nhau thế nào?
Độ lệch chuẩn đo mức phân tán của từng quan sát quanh giá trị trung bình. Sai số chuẩn đo mức bất định của chính trung bình mẫu, và bằng độ lệch chuẩn chia cho sqrt(n). Khi mẫu lớn dần, độ lệch chuẩn ổn định quanh giá trị của tổng thể, trong khi sai số chuẩn tiếp tục co lại về không.
Tài liệu tham khảo
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.1: Confidence intervals. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (confidence intervals for a mean; z vs t procedures).
- Student (Gosset WS). The probable error of a mean. Biometrika 1908; 6(1): 1-25 (origin of the t-distribution).