Hiểu kết quả phân phối nhị thức của bạn
Bảng dưới đây tóm tắt cách định nghĩa từng chế độ tính và khi nào nên chọn chế độ đó.
| Chế độ | Câu hỏi trả lời | Công thức |
|---|---|---|
| Đúng k | Xác suất có đúng k lần thành công là bao nhiêu? | P(X = k) |
| Tối đa k | Xác suất có k lần thành công trở xuống là bao nhiêu? | P(X ≤ k) |
| Tối thiểu k | Xác suất có k lần thành công trở lên là bao nhiêu? | P(X ≥ k) |
- Một quy tắc kinh nghiệm thường được trích dẫn (có trong các giáo trình thống kê tiêu chuẩn) là phân phối nhị thức có thể xấp xỉ hợp lý bằng phân phối chuẩn khi cả n × p và n × (1 − p) đều từ 5 trở lên, và hiệu chỉnh liên tục sẽ giúp phép xấp xỉ chính xác hơn nữa.
- Mô hình nhị thức yêu cầu các lần thử độc lập với xác suất thành công không đổi; lấy mẫu không hoàn lại từ một tổng thể hữu hạn nhỏ vi phạm tính độc lập và cần dùng phân phối siêu bội thay thế.
- k phải là số nguyên nằm trong khoảng từ 0 đến n; các giá trị k không nguyên hoặc nằm ngoài phạm vi này không phải là kết quả nhị thức hợp lệ.
- "Tối đa k" và "tối thiểu k + 1" là hai xác suất bù nhau và cộng lại bằng 100% (tương đương, "tối đa k − 1" và "tối thiểu k" cộng lại bằng 100%).
Phân phối nhị thức là gì?
Phân phối nhị thức mô hình hóa số lần thành công trong một số lần thử độc lập cố định (n), mỗi lần có cùng xác suất thành công (p) và chỉ có hai kết quả có thể xảy ra cho mỗi lần thử — thành công hoặc thất bại. Các ví dụ kinh điển gồm số lần ra mặt ngửa trong một số lần tung đồng xu cố định, hoặc số sản phẩm lỗi trong một mẫu cố định lấy từ dây chuyền sản xuất, với điều kiện xác suất thành công không đổi qua các lần thử.
Phân phối này là rời rạc: số lần thành công k chỉ có thể nhận các giá trị nguyên từ 0 đến n. Hình dạng của phân phối phụ thuộc vào cả n và p — đối xứng khi p = 0,5, và ngày càng lệch khi p tiến gần về 0 hoặc 1.
Hai giả định cốt lõi là tính độc lập (kết quả của một lần thử không ảnh hưởng đến lần khác) và xác suất thành công không đổi qua tất cả các lần thử. Khi các lần thử được lấy không hoàn lại từ một tổng thể hữu hạn nhỏ, các giả định này có thể bị vi phạm và phân phối siêu bội liên quan sẽ phù hợp hơn.
Cách sử dụng máy tính phân phối nhị thức này
- Nhập số lần thử, n.
- Nhập xác suất thành công cho mỗi lần thử, p, dưới dạng phần trăm.
- Nhập số lần thành công, k (một số nguyên từ 0 đến n).
- Chọn chế độ: đúng k lần thành công, tối đa k lần thành công hoặc tối thiểu k lần thành công, sau đó đọc kết quả xác suất, cùng với giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn của phân phối.
Công thức tính xác suất nhị thức
Xác suất có đúng k lần thành công trong n lần thử được cho bởi hàm khối xác suất nhị thức: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, trong đó C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) là số cách chọn k lần thành công trong n lần thử.
"Tối đa k" là tổng xác suất này cho mọi kết quả từ 0 đến k; "tối thiểu k" là tổng từ k đến n (tương đương với 1 trừ đi xác suất tối đa k − 1).
Giá trị kỳ vọng của phân phối (số lần thành công trung bình) là n × p, và độ lệch chuẩn của nó là √(n × p × (1 − p)).
Ví dụ minh họa: n = 20 lần thử, p = 50%, đúng k = 8 lần thành công. P(X = 8) = C(20, 8) × 0,5⁸ × 0,5¹² ≈ 12,01%. Giá trị kỳ vọng là 20 × 0,5 = 10, và độ lệch chuẩn là √(20 × 0,5 × 0,5) = √5 ≈ 2,2361.
Những lỗi thường gặp
- Sử dụng phân phối nhị thức cho các lần thử không độc lập hoặc có xác suất thành công thay đổi giữa các lần thử, chẳng hạn như lấy mẫu không hoàn lại từ một tổng thể nhỏ.
- Lỗi lệch một đơn vị giữa các chế độ — "tối thiểu 4" không phải là phần bù của "tối đa 4"; phần bù của "tối đa 4" là "tối thiểu 5".
- Nhập xác suất thành công dưới dạng số thập phân (0,5) thay vì phần trăm (50) trong khi ô nhập yêu cầu phần trăm.
- Áp dụng phân phối nhị thức cho một kết quả liên tục, hoặc cho một số đếm có nhiều hơn hai kết quả có thể xảy ra mỗi lần thử (trường hợp này cần mô hình đa thức thay thế).
- Quên rằng phân phối nhị thức giả định p không đổi qua tất cả n lần thử — một xác suất thay đổi theo thời gian sẽ làm mô hình không còn hợp lệ.
Câu hỏi thường gặp
Làm thế nào để tính xác suất nhị thức?
Dùng P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, trong đó n là số lần thử, p là xác suất thành công, và C(n, k) đếm số cách sắp xếp k lần thành công trong n lần thử. Với "tối đa" hoặc "tối thiểu", cộng công thức này trên phạm vi giá trị k tương ứng.
Cần đáp ứng điều kiện nào để sử dụng phân phối nhị thức?
Phải có một số lần thử cố định (n), mỗi lần thử chỉ có hai kết quả có thể xảy ra (thành công hoặc thất bại), xác suất thành công (p) phải không đổi qua các lần thử, và các lần thử phải độc lập với nhau.
Số lần thành công kỳ vọng là bao nhiêu?
Giá trị kỳ vọng (trung bình) của phân phối nhị thức là n × p. Ví dụ, với 20 lần thử và xác suất thành công 50%, số lần thành công kỳ vọng là 20 × 0,5 = 10.
Sự khác biệt giữa 'đúng', 'tối đa' và 'tối thiểu' là gì?
"Đúng k" là xác suất có chính xác k lần thành công. "Tối đa k" là tổng xác suất từ 0 đến k lần thành công. "Tối thiểu k" là tổng xác suất từ k đến n lần thành công; giá trị này bằng 1 trừ đi xác suất tối đa k − 1 lần thành công.
Khi nào phân phối chuẩn có thể xấp xỉ phân phối nhị thức?
Một quy tắc kinh nghiệm thường dùng là phép xấp xỉ hợp lý khi cả n × p và n × (1 − p) đều từ 5 trở lên. Ngoài phạm vi đó, đặc biệt với n nhỏ hoặc p cách xa 0,5, phép tính nhị thức chính xác đáng tin cậy hơn.
Tài liệu tham khảo
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — binomial distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (binomial setting and probability formula).
- Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (binomial distribution, mean and variance).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (binomial random variables and the normal approximation).