Die Z-Wert-Formel: einen Wert standardisieren
Ein Z-Wert, auch Standardwert genannt, wandelt einen Rohwert in ein Maß dafür um, wie weit dieser Wert vom Mittelwert seiner Verteilung entfernt liegt, ausgedrückt in Einheiten der Standardabweichung statt in den ursprünglichen Einheiten. Die Formel lautet z = (x - Mittelwert) / Standardabweichung, wobei x der zu standardisierende Wert ist. Ein Z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert genau dem Mittelwert entspricht; ein positiver Z-Wert bedeutet, dass der Wert über dem Mittelwert liegt; ein negativer Z-Wert bedeutet, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt.
Diese Standardisierung ermöglicht den Vergleich von Messungen aus unterschiedlichen Skalen oder unterschiedlichen Verteilungen -- zum Beispiel den Vergleich der Leistung eines Schülers in zwei verschiedenen Tests mit unterschiedlichen Mittelwerten und Streuungen, oder den Vergleich eines einzelnen Laborwerts mit einem Referenzbereich. Da der Z-Wert sowohl die ursprünglichen Einheiten als auch die ursprüngliche Skala entfernt, bedeutet ein Z-Wert von +1 immer dasselbe relative Ergebnis (eine Standardabweichung über dem Mittelwert der jeweiligen Verteilung), unabhängig davon, was gemessen wird.
Was bedeutet „zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert“?
Zu sagen, dass ein Wert zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt, ist einfach eine andere Art zu sagen, dass sein Z-Wert +2 beträgt: Der Wert ist weiter vom Mittelwert entfernt als eine typische Beobachtung, und zwar um einen Betrag, der dem Zweifachen der Standardabweichung der Verteilung entspricht. Da die Standardabweichung die typische Streuung der Daten misst, gilt ein Z-Wert von 2 oder höher (oder -2 oder niedriger) üblicherweise als ungewöhnlich, da bei einer annähernd normalverteilten Verteilung relativ wenige Beobachtungen so weit von der Mitte entfernt liegen.
Diese Formulierung beschreibt lediglich die Position innerhalb einer Verteilung -- sie sagt für sich genommen nicht, ob es gut, schlecht oder neutral ist, zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert zu liegen. Ein Z-Wert von +2 bei einer Verteilung von Testergebnissen deutet im Allgemeinen auf ein starkes Ergebnis hin, während ein Z-Wert von +2 bei einer Blutdruckverteilung im Allgemeinen auf einen deutlich über dem Üblichen liegenden Wert hindeutet, der klinische Aufmerksamkeit verdient. Der Z-Wert gibt den Abstand vom Mittelwert wieder; wie dieser Abstand zu interpretieren ist, hängt stets davon ab, was gemessen wird.
Die Standardnormalverteilung und Perzentile
Wenn die zugrunde liegenden Daten annähernd normalverteilt (glockenförmig) sind, lässt sich ein Z-Wert mithilfe der kumulativen Standardnormalverteilung in ein Perzentil umrechnen, das den Anteil der Verteilung angibt, der unterhalb eines gegebenen Z-Werts liegt. Diese Umrechnung erlaubt es, einen Z-Wert als „dieser Wert liegt höher als etwa X% der Verteilung“ auszudrücken. Die folgende Tabelle listet die etablierten Standardperzentile für ganzzahlige Z-Werte von -2 bis +3 auf.
| Z-Wert | Perzentil (Anteil der Verteilung darunter) | Anteil darüber |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | 97,72% |
| -1 | 15,87% | 84,13% |
| 0 | 50,00% | 50,00% |
| +1 | 84,13% | 15,87% |
| +2 | 97,72% | 2,28% |
| +3 | 99,87% | 0,13% |
Rechenbeispiel: einen Rohwert in ein Perzentil umrechnen
Betrachten Sie einen Wert von x = 130 aus einer Verteilung mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 15 (die klassische Skala für IQ-Werte). Schritt 1: Berechnen Sie den Z-Wert, z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Schritt 2: Schlagen Sie z = 2 in der Standardnormalverteilung nach, was dem 97,72. Perzentil entspricht -- das heißt, etwa 97,72% der Verteilung liegen bei oder unter einem Wert von 130, und etwa 2,28% liegen darüber.
Ein zweites Beispiel mit derselben Skala: Ein Wert von x = 85 ergibt z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1, was dem 15,87. Perzentil entspricht -- dieser Wert liegt also unter rund 84,13% der Verteilung und über rund 15,87% davon. In beiden Fällen reduziert sich die gesamte Berechnung auf zwei Schritte: den Wert zu einem Z-Wert standardisieren, dann das entsprechende Perzentil aus der Standardnormalverteilung ablesen.
Die 68-95-99,7-Faustregel
Für annähernd normalverteilte Daten bietet die Faustregel (manchmal auch 68-95-99,7-Regel genannt) eine schnelle Möglichkeit einzuschätzen, wie ungewöhnlich ein Z-Wert ist, ohne ein vollständiges Perzentil-Nachschlagen: Etwa 68% der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung des Mittelwerts (Z zwischen -1 und +1), etwa 95% liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen (Z zwischen -2 und +2), und etwa 99,7% liegen innerhalb von drei Standardabweichungen (Z zwischen -3 und +3).
Diese Regel folgt direkt aus der obigen Perzentiltabelle: Der Anteil zwischen z = -1 und z = +1 beträgt 84,13% - 15,87% = 68,26%, der Anteil zwischen z = -2 und z = +2 beträgt 97,72% - 2,28% = 95,44%, und der Anteil zwischen z = -3 und z = +3 beträgt 99,87% - 0,13% = 99,74% -- alles im Einklang mit den gängigen Näherungswerten von 68%, 95% und 99,7%. Die Regel gilt nur, wenn die zugrunde liegende Verteilung annähernd normalverteilt ist; schiefe oder schwerschwänzige Daten können erheblich von diesen Anteilen abweichen, auch wenn sich Z-Werte für sie weiterhin berechnen lassen.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechnet man einen Z-Wert?
Ziehen Sie den Mittelwert vom Wert ab und teilen Sie dann durch die Standardabweichung: z = (x - Mittelwert) / SD. Zum Beispiel ergibt ein Wert von 130 auf einer Skala mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 15: z = (130 - 100) / 15 = 2, was bedeutet, dass der Wert zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt.
Welches Perzentil entspricht einem Z-Wert von 2?
Etwa dem 97,72. Perzentil. Die Standardnormalverteilung ordnet etwa 97,72% der Werte bei oder unter einem Z-Wert von 2 ein, was bedeutet, dass ein Wert mit diesem Z-Wert höher liegt als rund 97,72% der Verteilung und niedriger als etwa 2,28% davon, sofern die zugrunde liegenden Daten annähernd normalverteilt sind.
Was bedeutet es, zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert zu liegen?
Es bedeutet, dass der Wert einen Z-Wert von +2 hat: Er liegt weiter über dem Durchschnitt als eine typische Beobachtung, und zwar um einen Betrag, der dem Zweifachen der Standardabweichung der Verteilung entspricht. Bei annähernd normalverteilten Daten liegen rund 97,72% der Verteilung bei oder unter diesem Wert, was ihn zu einem relativ seltenen Ergebnis macht -- ob das wünschenswert ist, hängt jedoch vollständig davon ab, was gemessen wird.
Erfordern Z-Werte, dass die Daten normalverteilt sind?
Die Berechnung des Z-Werts selbst, z = (x - Mittelwert) / SD, ist für jede Verteilung definiert und erfordert keine Normalverteilung. Die Umrechnung eines Z-Werts in ein Perzentil mithilfe der Standardnormalverteilung -- wie in den obigen Beispielen -- ist jedoch nur dann genau, wenn die zugrunde liegenden Daten annähernd normalverteilt (glockenförmig) sind; bei schiefen oder schwerschwänzigen Daten sollten Perzentile stattdessen direkt aus den Daten abgelesen werden.
Was besagt die 68-95-99,7-Regel?
Sie ist eine Kurzformel dafür, wie viel einer annähernd normalverteilten Verteilung innerhalb von ein, zwei und drei Standardabweichungen des Mittelwerts liegt: etwa 68% innerhalb einer Standardabweichung (Z zwischen -1 und +1), etwa 95% innerhalb von zwei (Z zwischen -2 und +2) und etwa 99,7% innerhalb von drei (Z zwischen -3 und +3). Sie bietet eine schnelle Möglichkeit einzuschätzen, wie ungewöhnlich ein Wert ist, ohne ein vollständiges Perzentil-Nachschlagen durchzuführen.
Quellenangaben
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).