Công thức điểm Z: chuẩn hóa một giá trị
Điểm Z, còn gọi là điểm chuẩn, biến một giá trị thô thành thước đo cho biết giá trị đó cách trung bình của phân phối bao xa, tính theo đơn vị độ lệch chuẩn thay vì đơn vị gốc. Công thức là z = (x - trung bình) / độ lệch chuẩn, trong đó x là giá trị được chuẩn hóa. Điểm Z bằng 0 nghĩa là giá trị đúng bằng trung bình; điểm Z dương nghĩa là giá trị nằm trên trung bình; điểm Z âm nghĩa là giá trị nằm dưới trung bình.
Chuẩn hóa giá trị theo cách này giúp có thể so sánh những phép đo đến từ các thang đo hay các phân phối khác nhau -- chẳng hạn so sánh kết quả của một học sinh ở hai bài kiểm tra có trung bình và độ phân tán khác nhau, hoặc so sánh một kết quả xét nghiệm cá nhân với khoảng tham chiếu. Vì điểm Z loại bỏ cả đơn vị gốc lẫn thang đo gốc, điểm Z bằng +1 luôn mang cùng một ý nghĩa tương đối (trên trung bình một độ lệch chuẩn của bất kỳ phân phối nào nó xuất phát), bất kể đại lượng được đo là gì.
«Trên trung bình hai độ lệch chuẩn» nghĩa là gì?
Nói một giá trị nằm trên trung bình hai độ lệch chuẩn chỉ đơn giản là một cách khác để nói điểm Z của nó bằng +2: giá trị này cách trung bình xa hơn một quan sát thông thường, với khoảng cách bằng hai lần độ lệch chuẩn của phân phối. Vì độ lệch chuẩn đo mức phân tán điển hình của dữ liệu, điểm Z từ 2 trở lên (hoặc từ -2 trở xuống) theo quy ước được xem là bất thường, bởi trong một phân phối gần chuẩn có tương đối ít quan sát nằm xa tâm đến vậy.
Cách diễn đạt này thuần túy mô tả vị trí trong một phân phối -- bản thân nó không nói việc nằm trên trung bình hai độ lệch chuẩn là tốt, xấu hay trung tính. Điểm Z bằng +2 trên phân phối điểm thi thường cho thấy một kết quả xuất sắc, trong khi điểm Z bằng +2 trên phân phối huyết áp thường cho thấy chỉ số cao hơn hẳn mức thông thường và đáng được chú ý về mặt lâm sàng. Điểm Z báo khoảng cách so với trung bình; diễn giải khoảng cách đó có ý nghĩa gì luôn phụ thuộc vào đại lượng đang được đo.
Phân phối chuẩn tắc và phân vị
Khi dữ liệu nền xấp xỉ chuẩn (có dạng hình chuông), điểm Z có thể được quy đổi sang phân vị bằng hàm phân phối tích lũy chuẩn tắc, hàm này cho biết tỷ lệ phần phân phối nằm dưới một điểm Z cho trước. Chính phép quy đổi này cho phép phát biểu lại điểm Z thành «giá trị này cao hơn khoảng X% của phân phối». Bảng dưới đây liệt kê các phân vị chuẩn mực, đã được xác lập vững chắc, cho các điểm Z nguyên từ -2 đến +3.
| Điểm Z | Phân vị (tỷ lệ phân phối nằm dưới) | Tỷ lệ nằm trên |
|---|---|---|
| -2 | 2,28% | 97,72% |
| -1 | 15,87% | 84,13% |
| 0 | 50,00% | 50,00% |
| +1 | 84,13% | 15,87% |
| +2 | 97,72% | 2,28% |
| +3 | 99,87% | 0,13% |
Ví dụ: quy đổi điểm thô sang phân vị
Xét giá trị x = 130 lấy từ một phân phối có trung bình 100 và độ lệch chuẩn 15 (thang kinh điển dùng cho chỉ số IQ). Bước 1: tính điểm Z, z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. Bước 2: tra z = 2 trên phân phối chuẩn tắc, ứng với phân vị thứ 97,72, nghĩa là khoảng 97,72% của phân phối nằm tại hoặc dưới giá trị 130, và khoảng 2,28% nằm trên nó.
Một ví dụ thứ hai trên cùng thang đo: giá trị x = 85 cho z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1, ứng với phân vị thứ 15,87 -- nghĩa là giá trị này nằm dưới khoảng 84,13% của phân phối và trên khoảng 15,87% còn lại. Trong cả hai trường hợp, toàn bộ phép tính rút gọn thành hai bước: chuẩn hóa giá trị thành điểm Z, rồi đọc phân vị tương ứng trên phân phối chuẩn tắc.
Quy tắc thực nghiệm 68-95-99,7
Với dữ liệu xấp xỉ chuẩn, quy tắc thực nghiệm (đôi khi gọi là quy tắc 68-95-99,7) cho một cách nhanh để đánh giá mức độ bất thường của một điểm Z mà không cần tra phân vị đầy đủ: khoảng 68% giá trị nằm trong phạm vi một độ lệch chuẩn quanh trung bình (z từ -1 đến +1), khoảng 95% nằm trong hai độ lệch chuẩn (z từ -2 đến +2), và khoảng 99,7% nằm trong ba độ lệch chuẩn (z từ -3 đến +3).
Quy tắc này suy ra trực tiếp từ bảng phân vị ở trên: tỷ lệ giữa z = -1 và z = +1 là 84,13% - 15,87% = 68,26%, tỷ lệ giữa z = -2 và z = +2 là 97,72% - 2,28% = 95,44%, và tỷ lệ giữa z = -3 và z = +3 là 99,87% - 0,13% = 99,74% -- tất cả đều nhất quán với các con số xấp xỉ thường được trích dẫn là 68%, 95% và 99,7%. Quy tắc chỉ áp dụng khi phân phối nền xấp xỉ chuẩn; dữ liệu lệch hoặc có đuôi nặng có thể lệch đáng kể khỏi các tỷ lệ này dù vẫn tính được điểm Z cho chúng.
Câu hỏi thường gặp
Tính điểm Z như thế nào?
Lấy giá trị trừ đi trung bình, rồi chia cho độ lệch chuẩn: z = (x - trung bình) / độ lệch chuẩn. Ví dụ, giá trị 130 trên thang có trung bình 100 và độ lệch chuẩn 15 cho z = (130 - 100) / 15 = 2, nghĩa là giá trị này nằm trên trung bình hai độ lệch chuẩn.
Điểm Z bằng 2 tương ứng với phân vị nào?
Xấp xỉ phân vị thứ 97,72. Phân phối chuẩn tắc đặt khoảng 97,72% giá trị tại hoặc dưới điểm Z bằng 2, nghĩa là một giá trị có điểm Z như vậy cao hơn khoảng 97,72% của phân phối và thấp hơn khoảng 2,28% còn lại, với giả định dữ liệu nền xấp xỉ chuẩn.
Nằm trên trung bình hai độ lệch chuẩn nghĩa là gì?
Nghĩa là giá trị đó có điểm Z bằng +2: nó nằm trên mức trung bình xa hơn một quan sát thông thường, với khoảng cách bằng hai lần độ lệch chuẩn của phân phối. Với dữ liệu xấp xỉ chuẩn, khoảng 97,72% của phân phối nằm tại hoặc dưới giá trị này, khiến nó là một kết quả tương đối hiếm gặp -- dù điều đó có đáng mong muốn hay không thì hoàn toàn phụ thuộc vào đại lượng đang được đo.
Điểm Z có đòi hỏi dữ liệu phải phân phối chuẩn không?
Bản thân phép tính điểm Z, z = (x - trung bình) / độ lệch chuẩn, được định nghĩa cho mọi phân phối và không đòi hỏi tính chuẩn. Tuy nhiên, việc quy đổi điểm Z sang phân vị bằng phân phối chuẩn tắc -- như trong các ví dụ ở trên -- chỉ chính xác khi dữ liệu nền xấp xỉ chuẩn (dạng hình chuông); với dữ liệu lệch hoặc có đuôi nặng, nên đọc phân vị trực tiếp từ dữ liệu.
Quy tắc 68-95-99,7 là gì?
Đó là cách nói tắt về phần dữ liệu của một phân phối xấp xỉ chuẩn nằm trong phạm vi một, hai và ba độ lệch chuẩn quanh trung bình: khoảng 68% trong một độ lệch chuẩn (z từ -1 đến +1), khoảng 95% trong hai (z từ -2 đến +2), và khoảng 99,7% trong ba (z từ -3 đến +3). Nó cho một cách nhanh để đánh giá mức độ bất thường của một giá trị mà không cần tra phân vị đầy đủ.
Tài liệu tham khảo
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).