Cung, dây cung và hình quạt tại các góc thông dụng
Bảng dưới đây minh họa độ dài cung so với độ dài dây cung của một đường tròn bán kính 10 tại vài góc ở tâm thông dụng.
| Góc ở tâm | Độ dài cung (r=10) | Độ dài dây cung (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5,2360 | 5,1764 |
| 60° | 10,4720 | 10,0000 |
| 90° | 15,7080 | 14,1421 |
| 180° | 31,4159 | 20,0000 |
| 360° | 62,8319 (toàn bộ chu vi) | 0 (điểm đầu = điểm cuối) |
- Ở 360°, độ dài cung bằng toàn bộ chu vi (2πr) và độ dài dây cung bằng 0 vì điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
- Với cùng một góc, độ dài cung luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài dây cung, vì đường thẳng là đường đi ngắn nhất giữa hai điểm còn cung thì cong giữa chúng.
- Diện tích hình viên phân chỉ có ý nghĩa với các góc nằm hẳn trong khoảng từ 0° đến 360°; tại đúng 0°, cả diện tích hình quạt lẫn hình viên phân đều bằng 0.
Độ dài cung, độ dài dây cung và diện tích hình quạt là gì?
Cung là một phần cong của chu vi đường tròn, được giới hạn bởi hai bán kính và một góc ở tâm. Độ dài cung là khoảng cách dọc theo đường cong đó. Dây cung là đoạn thẳng nối hai đầu mút của cung — luôn ngắn hơn chính cung đó, trừ khi góc nhỏ đến mức không đáng kể.
Hình quạt là miền hình miếng bánh được giới hạn bởi cung và hai bán kính; hình viên phân là miền nhỏ hơn được giới hạn bởi cung và dây cung (miếng bánh trừ đi tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung). Cả bốn đại lượng đều được tính trực tiếp từ bán kính và góc ở tâm.
Cách sử dụng máy tính độ dài cung này
- Nhập bán kính của đường tròn.
- Nhập góc ở tâm theo độ, trong khoảng từ 0° đến 360°.
- Đọc độ dài cung, độ dài dây cung, diện tích hình quạt và diện tích hình viên phân, các giá trị này cập nhật tức thì.
Các công thức đằng sau độ dài cung và diện tích hình quạt
Mọi công thức đều yêu cầu góc ở tâm tính bằng radian (θ = số đo góc theo độ × π / 180); máy tính tự động thực hiện phép đổi này từ giá trị nhập theo độ.
Những lỗi thường gặp
- Nhập góc theo radian trong khi máy tính đang chờ số đo theo độ.
- Nhầm độ dài cung (khoảng cách theo đường cong) với độ dài dây cung (khoảng cách theo đường thẳng) — chúng chỉ bằng nhau ở giới hạn khi góc tiến về 0.
- Nhầm diện tích hình quạt (giới hạn bởi hai bán kính và cung) với diện tích hình viên phân (giới hạn bởi dây cung và cung) — hình viên phân luôn nhỏ hơn.
- Dùng góc lớn hơn 360°, vốn không tương ứng với một hình quạt duy nhất, xác định rõ ràng của một đường tròn.
Câu hỏi thường gặp
Tính độ dài cung như thế nào?
Độ dài cung bằng bán kính nhân với góc ở tâm tính bằng radian: s = rθ. Với bán kính 10 và góc 60° (θ = π/3 radian), độ dài cung là 10 × π/3 ≈ 10,4720 đơn vị.
Độ dài cung và độ dài dây cung khác nhau thế nào?
Độ dài cung là khoảng cách dọc theo mép cong của đường tròn giữa hai điểm; độ dài dây cung là khoảng cách theo đường thẳng giữa chính hai điểm đó. Với bán kính 10 và góc 60°, độ dài cung khoảng 10,4720 còn độ dài dây cung đúng bằng 10 (vì dây cung = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10).
Làm thế nào để tìm diện tích hình quạt?
Diện tích hình quạt bằng một nửa bình phương bán kính nhân với góc ở tâm tính bằng radian: A = ½r²θ. Với bán kính 10 và góc 60°, diện tích hình quạt là ½ × 100 × (π/3) ≈ 52,3599 đơn vị vuông.
Hình viên phân của đường tròn là gì?
Hình viên phân là miền nằm giữa một dây cung và cung mà nó cắt ra — bằng diện tích hình quạt trừ đi diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung. Với bán kính 10 và góc 60°, diện tích hình viên phân là ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9,0586 đơn vị vuông.
Làm thế nào để đổi độ sang radian cho các công thức này?
Nhân số đo góc theo độ với π/180. Ví dụ, 60° × π/180 = π/3 radian ≈ 1,0472 radian.
Độ dài cung của cả đường tròn là bao nhiêu?
Ở góc ở tâm 360° (2π radian), độ dài cung bằng toàn bộ chu vi, 2πr. Với bán kính 10, đó là 2π × 10 ≈ 62,8319 đơn vị.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).