Công thức thể tích và diện tích bề mặt theo từng khối
Bảng dưới đây tóm tắt công thức thể tích và diện tích bề mặt được dùng cho mỗi khối.
| Khối | Công thức thể tích | Công thức diện tích bề mặt |
|---|---|---|
| Hình cầu | V = (4/3)πr³ | SA = 4πr² |
| Hình lập phương | V = s³ | SA = 6s² |
| Hình hộp chữ nhật | V = lwh | SA = 2(lw + lh + wh) |
| Hình trụ | V = πr²h | SA = 2πr² + 2πrh |
| Hình nón | V = (1/3)πr²h | SA = πr² + πr·slant |
| Hình chóp đáy vuông | V = (1/3)l²h | SA = l² + 2l·slant |
| Bán cầu | V = (2/3)πr³ | SA = 3πr² |
| Hình nón cụt | V = (1/3)πh(r₁²+r₁r₂+r₂²) | SA = π(r₁²+r₂²) + π(r₁+r₂)·slant |
- Với hình nón, hình chóp và hình nón cụt, công thức diện tích bề mặt dùng đường sinh (hay cạnh bên), được suy ra nội bộ từ bán kính/cạnh và chiều cao thông qua định lý Pythagoras — nó không giống chiều cao thẳng đứng mà bạn nhập vào.
- "Diện tích bề mặt" ở đây nghĩa là tổng diện tích bề mặt, bao gồm cả (các) mặt đáy; đó không phải diện tích xung quanh (chỉ phần mặt bên) — hãy xem máy tính diện tích bề mặt chuyên biệt để có phân tích đó.
- Mọi công thức đều giả định khối đứng (không xiên): đỉnh hoặc mặt trên nằm ngay phía trên tâm của đáy.
Thể tích là gì?
Thể tích là lượng không gian ba chiều mà một khối chiếm giữ, được đo bằng đơn vị khối (ví dụ mét khối hoặc foot khối). Mỗi khối đều đặn đều có một công thức dạng đóng liên hệ thể tích với các kích thước xác định của nó, chẳng hạn bán kính của hình cầu hay chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp.
Diện tích bề mặt, được hiển thị cạnh thể tích cho mọi khối ở đây, là tổng diện tích của tất cả các mặt ngoài hoặc bề mặt cong. Nó dùng đơn vị vuông và được tính bằng một công thức riêng biệt với thể tích — hai đại lượng này mô tả những tính chất vật lý khác nhau và không thể thay thế cho nhau.
Cách dùng máy tính thể tích này
- Chọn khối bạn muốn đo trong danh sách thả xuống của trường Khối.
- Nhập các kích thước được yêu cầu — ví dụ bán kính cho hình cầu, hoặc chiều dài, chiều rộng và chiều cao cho hình hộp.
- Với hình nón cụt, hãy nhập bán kính đáy dưới, bán kính đáy trên (radius2) và chiều cao vuông góc giữa hai mặt tròn.
- Với hình chóp đáy vuông, hãy nhập độ dài cạnh đáy vào ô "chiều dài" và chiều cao vuông góc từ đáy tới đỉnh.
- Đọc thể tích và diện tích bề mặt, hai giá trị này cập nhật tức thì khi bạn thay đổi kích thước.
Công thức đằng sau thể tích của từng khối
Công thức thể tích của mỗi khối được suy ra từ giải tích (lấy tích phân diện tích mặt cắt ngang dọc theo chiều cao hoặc bán kính của khối), nhưng rút gọn thành một biểu thức dạng đóng đơn giản đối với các hình chuẩn này.
Những lỗi thường gặp
- Nhập đường kính thay vì bán kính: với hình cầu hoặc bán cầu, điều này làm thể tích lớn hơn 8 lần, còn với hình trụ hoặc hình nón thì lớn hơn 4 lần, vì thể tích của chúng phụ thuộc vào r² thay vì r³.
- Nhầm lẫn độ dài cạnh của hình lập phương với chiều dài, chiều rộng và chiều cao độc lập của hình hộp.
- Với hình nón cụt, nhập bán kính đáy trên (radius2) lớn hơn bán kính đáy dưới mà không nhận ra mặt nào là mặt nào — công thức có tính đối xứng, nhưng cách gán nhãn quyết định hướng của khối.
- Trộn lẫn đơn vị, chẳng hạn nhập chiều cao theo foot trong khi bán kính theo inch, điều này tạo ra kết quả sai.
- Cho rằng thể tích và diện tích bề mặt biến đổi theo cùng một tỉ lệ — nhân đôi bán kính của hình cầu làm thể tích tăng 8 lần nhưng diện tích bề mặt chỉ tăng 4 lần.
Câu hỏi thường gặp
Làm thế nào để tìm thể tích của hình cầu?
Thể tích hình cầu bằng (4/3) × π × bán kính³. Một hình cầu có bán kính 3 thì thể tích là (4/3) × π × 27 ≈ 113,0973 đơn vị khối.
Thể tích của hình trụ là bao nhiêu?
Thể tích hình trụ bằng π × bán kính² × chiều cao. Một hình trụ có bán kính 3 và chiều cao 5 thì thể tích là π × 9 × 5 ≈ 141,3717 đơn vị khối.
Làm thế nào để tính thể tích của hình nón?
Thể tích hình nón bằng một phần ba của π × bán kính² × chiều cao. Một hình nón có bán kính 3 và chiều cao 5 thì thể tích là (1/3) × π × 9 × 5 ≈ 47,1239 đơn vị khối — đúng bằng một phần ba thể tích của hình trụ có cùng bán kính và chiều cao.
Thể tích của hình hộp chữ nhật là bao nhiêu?
Thể tích hình hộp bằng chiều dài × chiều rộng × chiều cao. Một hình hộp kích thước 4 × 3 × 5 có thể tích là 4 × 3 × 5 = 60 đơn vị khối.
Làm thế nào để tìm thể tích của hình nón cụt?
Thể tích hình nón cụt bằng (1/3) × π × chiều cao × (r₁² + r₁r₂ + r₂²), trong đó r₁ và r₂ là bán kính của hai mặt tròn. Một hình nón cụt có bán kính đáy dưới 3, bán kính đáy trên 2 và chiều cao 5 thì thể tích là (1/3) × π × 5 × (9 + 6 + 4) ≈ 99,4838 đơn vị khối.
Vì sao máy tính còn hiển thị cả diện tích bề mặt?
Thể tích và diện tích bề mặt đều là những đại lượng mô tả chuẩn của một khối và thường được cần đến cùng lúc — ví dụ thể tích để biết sức chứa và diện tích bề mặt để biết lượng vật liệu hoặc lớp phủ cần dùng — nên cả hai đều được tính từ chính các kích thước bạn đã nhập.
Công thức của hình cầu và bán cầu khác nhau thế nào?
Bán cầu đúng bằng một nửa hình cầu về thể tích: V = (2/3)πr³ so với (4/3)πr³ của hình cầu đầy đủ. Diện tích bề mặt của nó không đơn thuần bằng một nửa của hình cầu, vì còn bao gồm cả mặt đáy tròn phẳng: SA = 3πr² (2πr² phần cong cộng πr² phần phẳng), so với 4πr² của hình cầu đầy đủ.
Tài liệu tham khảo
- NIST Guide to the SI — cubic unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard solid-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).