Hai cách đo cùng một góc
Một độ chia một vòng quay quanh đường tròn thành 360 phần bằng nhau, một quy ước bắt nguồn từ thiên văn học Babylon cổ đại và hệ đếm cơ số 60 của họ. Góc vuông là 90 độ, đường thẳng là 180 độ, và một vòng đầy đủ là 360 độ.
Radian thì đo góc bằng tỉ số giữa độ dài cung mà góc đó chắn trên đường tròn với bán kính của đường tròn ấy: góc 1 radian là góc mà độ dài cung đúng bằng bán kính. Vì chu vi đầy đủ của đường tròn là 2 x π x bán kính, một vòng quay đầy đủ đo được đúng 2 x π radian -- xấp xỉ 6,2832 radian -- bất kể kích thước thực của đường tròn, bởi radian là tỉ số của hai độ dài nên bản thân nó không có đơn vị.
Vì sao radian là đơn vị tự nhiên cho giải tích
Radian được định nghĩa trực tiếp từ chính hình học của đường tròn (độ dài cung chia bán kính), thay vì từ một cách chia tùy ý như 360, đó là lý do các công thức biểu diễn bằng radian thường gọn hơn. Chẳng hạn, công thức độ dài cung đơn giản là s = r x θ khi θ tính bằng radian, không cần hằng số chuyển đổi phụ nào; cùng công thức đó nếu tính bằng độ thì cần thêm hệ số π/180.
Sự gọn gàng này trở nên thiết yếu trong giải tích: đạo hàm của sin(x) đúng bằng cos(x) chỉ khi x được đo bằng radian. Nếu x đo bằng độ, đạo hàm sẽ kèm thêm hệ số hằng π/180, vì hàm sin theo độ thực chất là sin(x x π/180) tính theo hàm cơ sở radian. Do hằng số phụ này làm phức tạp mọi đạo hàm, tích phân và khai triển chuỗi liên quan đến hàm lượng giác, các nhà toán học và khoa học mặc định dùng radian xuyên suốt giải tích và toán học cao cấp, chỉ dành độ cho các bối cảnh đời thường và ứng dụng như hàng hải, trắc địa và xây dựng.
Chuyển đổi giữa độ và radian
Vì một vòng quay đầy đủ bằng cả 360 độ lẫn 2 x π radian, hai đơn vị liên hệ với nhau bằng một tỉ số cố định: để đổi độ sang radian, nhân với π/180; để đổi radian sang độ, nhân với 180/π. Bảng dưới đây liệt kê các giá trị chuyển đổi đã kiểm chứng cho những góc thường dùng nhất trong lượng giác.
| Độ | Radian (chính xác, theo π) | Radian (thập phân) |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | 0,5236 |
| 45° | π/4 | 0,7854 |
| 60° | π/3 | 1,0472 |
| 90° | π/2 | 1,5708 |
| 180° | π | 3,1416 |
| 270° | 3π/2 | 4,7124 |
| 360° | 2π | 6,2832 |
Lỗi chế độ máy tính kinh điển
Lỗi lượng giác phổ biến nhất là nhập góc theo một đơn vị trong khi máy tính hay chương trình lại được đặt để hiểu theo đơn vị kia, bởi cả độ lẫn radian đều nhận số nhập vào thuần túy và không chế độ nào báo lỗi khi chọn sai -- chỉ có một kết quả trông sai mà rất dễ bỏ sót nếu chưa biết trước đáp án đúng.
Ví dụ, sin(30) cho kết quả rất khác nhau tùy chế độ đang bật: với máy tính đặt ở chế độ độ, sin(30 độ) = 0,5 chính xác. Cũng máy tính đó nhưng vô tình để ở chế độ radian, sin(30 radian) lại xấp xỉ -0,9880 -- một giá trị sai dấu và khác hẳn về độ lớn, dù xuất phát từ đúng những thao tác bấm phím giống nhau. Vì 30 radian tương ứng với góc khoảng 1.718,9 độ (nhiều vòng quay đầy đủ vượt quá góc 30 độ dự định), hai kết quả mô tả những góc về cơ bản chẳng liên quan gì đến nhau.
Nên dùng đơn vị nào, và khi nào
Độ vẫn là chuẩn cho các ứng dụng đời thường và thực tiễn, nơi bản thân con số cần dễ đọc và trực quan với con người -- hướng đi hàng hải, góc xây dựng, tọa độ địa lý và phần lớn máy tính cầm tay dân dụng đều mặc định dùng độ vì lý do này. Radian là chuẩn trong giải tích, vật lý, kỹ thuật và mọi bối cảnh liên quan đến đạo hàm, tích phân hay chuỗi lượng giác, vì các công thức nền tảng gọn hơn và sạch hơn về mặt thứ nguyên khi dùng radian.
Khi chuyển qua lại giữa các bối cảnh -- ví dụ lấy một góc theo độ từ bản vẽ kỹ thuật rồi dùng trong công thức vật lý dựa trên giải tích -- việc chuyển đổi tường minh bằng hệ số π/180 hoặc 180/π trước khi tính sẽ tránh được lỗi lệch chế độ nói trên, và an toàn hơn là mặc định giả sử đơn vị góc của một công thức hay một hàm lập trình mà không kiểm tra tài liệu của nó.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao đổi độ sang radian?
Nhân số đo góc theo độ với π/180. Ví dụ, 60 độ x π/180 = π/3 radian, tức xấp xỉ 1,0472 radian.
Làm sao đổi radian sang độ?
Nhân số đo góc theo radian với 180/π. Ví dụ, π/4 radian x 180/π = đúng 45 độ.
Vì sao giải tích dùng radian thay vì độ?
Vì radian được định nghĩa trực tiếp từ chính hình học của đường tròn (độ dài cung chia bán kính), các công thức liên quan đến hàm lượng giác trở nên gọn hơn khi dùng radian -- quan trọng nhất là đạo hàm của sin(x) đúng bằng cos(x) chỉ khi x tính bằng radian. Nếu tính bằng độ, cùng đạo hàm đó sẽ kèm thêm hệ số hằng π/180, làm phức tạp mọi đạo hàm, tích phân và khai triển chuỗi tiếp theo.
Điều gì xảy ra nếu để máy tính ở sai chế độ góc?
Kết quả sẽ trông hợp lệ về mặt số học nhưng mô tả một góc hoàn toàn khác. Ví dụ, sin(30 độ) = 0,5 chính xác, trong khi sin(30 radian) xấp xỉ -0,9880, vì 30 radian tương ứng khoảng 1.718,9 độ -- nhiều vòng quay đầy đủ vượt quá góc 30 độ dự định.
Có phải π radian bằng 180 độ không?
Đúng. Một vòng quay đầy đủ bằng cả 360 độ lẫn 2 x π radian, nên nửa vòng quay -- một đường thẳng -- bằng cả 180 độ lẫn đúng π radian (xấp xỉ 3,1416 radian).
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Radian" and "Degree." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (radian measure and derivatives of trigonometric functions).
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (degree-radian conversion and angle measurement conventions).