Dấu theo góc phần tư và các góc chuẩn trên đường tròn đơn vị
Sin, cosin và tang đều có quy luật dấu cố định trong mỗi góc phần tư, và nhận giá trị chính xác tại các góc tham chiếu chuẩn dưới đây.
| Góc phần tư | Khoảng góc | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | dương | dương | dương |
| II | 90°–180° | dương | âm | âm |
| III | 180°–270° | âm | âm | dương |
| IV | 270°–360° | âm | dương | âm |
- Góc tham chiếu luôn là góc nhọn (0°–90°) giữa cạnh cuối và trục x; nó được dùng cùng quy luật dấu của góc phần tư để tìm giá trị lượng giác chính xác của mọi góc, xuất phát từ các giá trị chuẩn tại 0°/30°/45°/60°/90°.
- Tang không xác định tại 90° và 270° (cùng các góc đồng tận của chúng), vì cosin bằng không tại những góc đó.
- Góc lớn hơn 360° hoặc góc âm trước hết được rút gọn về góc đồng tận nằm trong [0°, 360°) rồi mới xác định góc phần tư và góc tham chiếu.
Đường tròn đơn vị là gì?
Đường tròn đơn vị là đường tròn bán kính 1 có tâm tại gốc tọa độ của mặt phẳng tọa độ. Với mọi góc θ đo ngược chiều kim đồng hồ từ nửa trục x dương, điểm mà cạnh cuối của góc cắt đường tròn có tọa độ (cos θ, sin θ) — điều này biến đường tròn đơn vị thành nền tảng vừa trực quan vừa tính toán cho toàn bộ các hàm lượng giác.
Vì bán kính đúng bằng 1, giá trị sin và cosin đọc trực tiếp thành tọa độ mà không cần nhân thêm hệ số nào. Máy tính cũng cho biết góc đồng tận (góc tương đương nằm giữa 0° và 360°), góc phần tư chứa cạnh cuối, và góc tham chiếu (góc nhọn tới trục x gần nhất); ba yếu tố này cùng nhau giải thích dấu và độ lớn của các giá trị lượng giác.
Cách dùng máy tính đường tròn đơn vị này
- Nhập giá trị của góc.
- Chọn đơn vị góc: độ hoặc radian.
- Đọc sin, cosin và tang của góc, cùng góc phần tư, góc tham chiếu và góc đồng tận (góc tương đương trong một vòng quay từ 0° đến 360°).
Các công thức đường tròn đơn vị
Vì đường tròn đơn vị có bán kính bằng 1, tọa độ (x, y) của một điểm trùng khớp với (cos θ, sin θ) — không cần nhân thêm bán kính như với một đường tròn tổng quát.
Những lỗi thường gặp
- Để đơn vị góc ở radian trong khi nhập giá trị theo độ, hoặc ngược lại, tạo ra kết quả trông hợp lệ nhưng sai.
- Cho rằng góc tham chiếu bằng chính góc đã nhập với những góc nằm ngoài góc phần tư I — góc tham chiếu luôn được đo từ trục x gần nhất, không phải từ 0°.
- Mong đợi một giá trị tang bằng số tại 90° hoặc 270°, nơi tang không xác định vì cosin bằng không.
- Quên rằng góc âm và góc lớn hơn 360° đều tương đương với một góc đồng tận trong một vòng quay đầy đủ (0°–360°).
Câu hỏi thường gặp
sin và cos tại 225 độ bằng bao nhiêu?
Tại 225°, sin(225°) = cos(225°) = −0,707107 (cả hai đều bằng −√2/2). Lý do là 225° nằm trong góc phần tư III, nơi góc tham chiếu là 45° (225° − 180°) và cả sin lẫn cosin đều mang dấu âm.
225 độ nằm ở góc phần tư nào?
225° nằm ở góc phần tư III (180°–270°), nơi cả sin và cosin đều âm còn tang thì dương. Góc tham chiếu của nó là 225° − 180° = 45°.
Góc tham chiếu là gì?
Góc tham chiếu là góc nhọn, luôn nằm giữa 0° và 90°, tạo bởi cạnh cuối của một góc với trục x. Với góc 225°, góc tham chiếu là 45°, vì 225° vượt qua mốc 180° đúng 45°.
Góc đồng tận là gì?
Góc đồng tận là góc có cùng cạnh cuối sau khi được rút gọn về khoảng 0°–360° (tức một vòng quay đầy đủ). Góc 585° có góc đồng tận là 585° − 360° = 225°, vì cả hai cùng chỉ tới một vị trí trên đường tròn.
Vì sao tan(90°) không xác định trên đường tròn đơn vị?
Tang bằng sin θ / cos θ, mà tại 90° điểm trên đường tròn đơn vị là (0, 1), nghĩa là cos(90°) = 0. Phép chia cho không là không xác định, nên tang không có giá trị tại 90° (và tại 270°, nơi cosin cũng bằng không).
Giá trị chính xác của sin và cos tại 30°, 45° và 60° là bao nhiêu?
sin(30°) = 0,5 và cos(30°) ≈ 0,866025; sin(45°) = cos(45°) ≈ 0,707107; sin(60°) ≈ 0,866025 và cos(60°) = 0,5. Đây là những giá trị trên đường tròn đơn vị được ghi nhớ nhiều nhất, tất cả đều thuộc góc phần tư I.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).