Asıl soru: sıra önemli mi?
Permütasyon da kombinasyon da n farklı nesneden r tanesinin kaç şekilde seçilebileceğini sayar, oysa iki ayrı soruyu yanıtlarlar. Permütasyon, r nesnenin seçilip dizilme yollarının sayısını verir; dolayısıyla aynı nesneleri farklı sırada içeren iki seçim iki ayrı sonuç olarak sayılır. Kombinasyon ise yalnızca r nesnenin seçilme yollarının sayısını verir; bu nedenle aynı nesneleri içeren iki seçim, hangi sırayla alındıklarından bağımsız olarak tek bir sonuç sayılır.
Hangisinin geçerli olduğuna karar vermenin kolay bir yolu var: tam olarak aynı nesneleri kullanan ama farklı sırada listeleyen ya da dizen iki seçim düşünün. Bu iki seçim gerçek dünyada farklı sonuçlara karşılık geliyorsa — farklı sıralamalar, farklı parolalar, bir yarışta farklı bitiriş sıraları — sıra önemlidir ve doğru sayım permütasyondur. Aynı gerçek dünya sonucuna karşılık geliyorsa — aynı komite, aynı iskambil eli, aynı piyango sayı kümesi — sıra önemli değildir ve doğru sayım kombinasyondur.
Formüller: nPr ve nCr, doğrulanmış bir örnekle
n farklı nesneden seçilen r nesnenin permütasyon sayısı nPr = n! / (n − r)!, kombinasyon sayısı ise nCr = n! / [r! (n − r)!] şeklindedir — kombinasyon formülü, permütasyon formülünün r! ile bölünmüş hâlidir; çünkü r! ile bölmek, permütasyon sayımının ayrı ayrı ele aldığı, aynı nesne grubunun r! farklı dizilişini eler.
Çözümlü örnek: 7 nesnelik bir gruptan 3 nesne seçmek. Permütasyonlar: 7P3 = 7! / (7−3)! = 7 × 6 × 5 = 210. Kombinasyonlar: 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35. Kombinasyon sayısı tam olarak permütasyon sayısının 3! = 6'ya bölümüdür; bu da nCr = nPr / r! bağıntısını doğrular.
| Nicelik | Formül | n=7, r=3 için değer |
|---|---|---|
| Permütasyonlar (sıra önemli) | nPr = n! / (n − r)! | 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210 |
| Kombinasyonlar (sıra önemsiz) | nCr = n! / [r!(n − r)!] | 7C3 = 210 / 3! = 35 |
Tekrarlı seçim ve tekrarsız seçim
Yukarıdaki iki formül de n nesnenin her birinin en çok bir kez seçilebildiğini varsayar — yani tekrarsız örnekleme. Nesneler yeniden kullanılabildiğinde (tekrarlı örnekleme; yerine koyarak örnekleme de denir) sayım formülleri değişir. Tekrara izin verilen permütasyonlarda n sayısı yalnızca r kuvvetine yükseltilir; çünkü r konumun her biri, daha önce ne seçildiğinden bağımsız olarak n seçeneğin tümüne sahiptir: n^r.
Tekrara izin verilen kombinasyonlar ise farklı bir formül kullanır: C(n + r − 1, r). Bu formül, tekrarlara izin verildiğinde ve sıra yine önemsizken n türden r nesnenin kaç şekilde seçilebileceğini sayar — daha seyrek gereken bir durumdur, oysa örneğin aynı çeşidin birden çok kez alınabildiği n çeşit dondurmadan top seçerken karşımıza çıkar.
| Durum | Formül | Tipik örnek |
|---|---|---|
| Permütasyon, tekrarsız | n! / (n − r)! | 7 finalist arasından 3 kazananı sıralamak |
| Permütasyon, tekrarlı | n^r | Rakamların yinelenebildiği 4 haneli bir PIN |
| Kombinasyon, tekrarsız | n! / [r!(n − r)!] | Bir piyango bileti için 6 sayı seçmek |
| Kombinasyon, tekrarlı | (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!] | 5 dondurma çeşidinden, tekrara izinle 3 top seçmek |
Çözümlü örnekler: bir PIN kodu ve bir piyango bileti
4 konumun her birinin 0–9 arası herhangi bir rakam olabildiği ve rakamların yinelenebildiği (banka PIN'lerinin tipik kuralı) 4 haneli bir PIN, tekrarlı permütasyona örnektir: sıra önemlidir (1234 ile 4321 farklı PIN'lerdir) ve tekrara izin verilir; bu da 10^4 = 10.000 olası PIN eder. Yinelenen rakamlara izin verilmeseydi sayı, tekrarsız permütasyon değerine düşerdi: 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 — daha az olasılık; çünkü kullanılan her rakam kalan konumlar için bir seçeneği ortadan kaldırır.
49 sayılık bir havuzdan 6 sayının çekildiği, hiçbir sayının yinelenmediği ve çekiliş sırasının biletin kazanıp kazanmamasıyla ilgisiz olduğu klasik piyango biçimi ise tekrarsız kombinasyona örnektir: C(49, 6) = 49! / (6! × 43!) = 13.983.816. Bu tür piyango biçimlerinin düşük olasılıklı oyunlar diye anılmasının nedeni tam olarak bu büyük sayıdır — kombinasyon sayımı, n değeri r'ye göre büyüdükçe çok hızlı biçimde çok büyür; çünkü küçük ve sabit bir diziliş kümesini değil, geniş bir havuzdan sırasız grupları saymaktadır.
Hangi formülün kullanılacağını hatırlamanın kolay yolu
“Permütasyon” ile “pozisyon” sözcüklerinin ikisi de P ile başlar ve yararlı bir hafıza desteği olarak permütasyonun pozisyonu önemsediğini — yani her nesnenin dizide nereye düştüğünü — akılda tutabilirsiniz. “Kombinasyon” ise bir çantanın içindekiler ya da bir komite gibi birleştirilmiş bir grubu anlatır; orada yalnızca kimlerin bulunduğu önemlidir, hangi sırayla eklendikleri değil.
Parolalar, PIN'ler, yarış sıralamaları ve her türlü oturma ya da çizelgeleme düzeni permütasyon problemleridir; çünkü sırayı değiştirmek sonucu değiştirir. İskambil elleri, piyango sayı kümeleri, komite üyelikleri ve her türlü sırasız grup seçimi ise kombinasyon problemleridir; çünkü önemli olan tek şey üyelerdir, seçilme sıraları değil.
Sıkça Sorulan Sorular
Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark nedir?
Permütasyon, sıranın önemli olduğu dizilişleri sayar; dolayısıyla aynı nesneleri farklı sırada seçmek farklı bir sonuç sayılır. Kombinasyon ise sıranın önemli olmadığı seçimleri sayar; aynı nesneler hangi sırada olursa olsun tek bir sonuç sayılır. İkisi de aynı n nesnelik gruptan yola çıkar ve r tanesini seçmeyi konu alır, oysa aynı n ile r için permütasyon sayısı her zaman kombinasyon sayısından büyük ya da ona eşittir.
7P3 nedir ve nasıl hesaplanır?
7P3, sıranın önemli olduğu durumda 7 farklı nesnelik bir gruptan 3 nesnenin seçilip dizilme yollarının sayısı olan 210'a eşittir. Şöyle hesaplanır: 7P3 = 7! / (7 − 3)! = 7 × 6 × 5 = 210; küçük çarpanlar paydadaki (7−3)! ile sadeleştiğinden 7! ifadesinin en büyük üç çarpanı çarpılır.
7C3 nedir ve nasıl hesaplanır?
7C3, sıranın önemli olmadığı durumda 7 farklı nesnelik bir gruptan 3 nesnenin seçilme yollarının sayısı olan 35'e eşittir. Şöyle hesaplanır: 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35 — yani tam olarak permütasyon sayısı 7P3 = 210'un 3!'e (her 3'lü grubu yeniden sıralama yollarının sayısına) bölümü; çünkü kombinasyonlar aynı grubun bütün dizilişlerini tek bir sonuçta toplar.
PIN'lerde neden permütasyon, piyangolarda neden kombinasyon kullanılır?
Bir PIN, 1234 ile 4321'i farklı kodlar sayar; yani rakamların sırası sonucu değiştirir ve bu bir permütasyon senaryosudur — tipik 4 haneli bir PIN'de tekrara izin verildiğinden 10^4 = 10.000 olasılık eder. Piyango bileti ise yalnızca hangi sayıların çekildiğine göre kazanır, çıkış sırasına göre değil; dolayısıyla aynı sayıları farklı sırada içeren iki çekiliş aynı kazanan sonuçtur ve bu bir kombinasyon senaryosudur — 49'dan 6 biçimi için C(49,6) = 13.983.816 olası sayı kümesi vardır.
Permütasyon ya da kombinasyon formülünde “tekrarlı” ne demektir?
Bir nesnenin aynı sonuç içinde birden çok kez seçilebilmesi demektir. Tekrara izin verilen permütasyonlar n^r kullanır (r konumun her biri bağımsız olarak n seçeneğe sahiptir); tekrara izin verilen kombinasyonlar ise (n + r − 1)! / [r!(n − 1)!] kullanır. Tekrarsız durumda her nesne en çok bir kez kullanılabilir ve standart nPr ile nCr formüllerinin varsaydığı da budur.
Kaynaklar
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018 (permutations, combinations, and counting with repetition).
- Ross SM. A First Course in Probability. Pearson (combinatorial counting methods).
- Weisstein EW. "Permutation" and "Combination." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.