Interpretare la tua deviazione standard
Per dati approssimativamente normali (a campana), la regola empirica descrive quanta parte dei dati ricade entro un dato numero di deviazioni standard dalla media.
| Intervallo attorno alla media | Quota approssimativa dei dati (distribuzione normale) |
|---|---|
| Entro 1 deviazione standard | Circa il 68% |
| Entro 2 deviazioni standard | Circa il 95% |
| Entro 3 deviazioni standard | Circa il 99,7% |
- La regola empirica 68-95-99,7 vale per distribuzioni approssimativamente normali; dati fortemente asimmetrici o con code pesanti possono discostarsi sensibilmente da queste percentuali.
- Usa la forma campionaria (n - 1) quando i dati sono un campione impiegato per fare inferenza su una popolazione più ampia; ricorri alla forma di popolazione (n) soltanto quando l'insieme di dati è l'intera popolazione di interesse.
- La deviazione standard è sensibile ai valori anomali, poiché gli scarti vengono elevati al quadrato: un solo valore estremo può gonfiarla in modo marcato.
- Questo calcolatore richiede almeno due valori, dato che la dispersione non può essere stimata da una singola osservazione.
Che cos'è la deviazione standard?
La deviazione standard quantifica la distanza tipica dei valori dalla loro media. Una deviazione standard piccola indica che i valori si addensano attorno alla media; una grande indica che sono ampiamente dispersi. Si esprime nelle stesse unità di misura dei dati, il che la rende più facile da interpretare rispetto alla varianza, che ne è il quadrato.
Il punto didattico centrale è la distinzione fra forma campionaria e forma di popolazione. La deviazione standard di popolazione (sigma) divide la somma degli scarti quadratici per n ed è corretta soltanto quando l'insieme di dati coincide con l'intera popolazione di interesse, per esempio i voti d'esame di tutti gli studenti di una specifica classe. La deviazione standard campionaria (s) divide invece per n - 1 ed è corretta quando i dati sono un campione usato per stimare la dispersione di una popolazione più ampia.
La divisione per n - 1 è nota come correzione di Bessel. Poiché la media campionaria viene calcolata dagli stessi dati, gli scarti rispetto a essa risultano sistematicamente un po' più piccoli degli scarti rispetto alla vera media della popolazione, che resta ignota; dividere per n - 1 anziché per n compensa questo effetto e rende la varianza campionaria uno stimatore non distorto della varianza della popolazione. La correzione pesa soprattutto sui campioni piccoli e diventa trascurabile al crescere di n.
Come usare questo calcolatore di deviazione standard
- Inserisci almeno due numeri separati da ;, per esempio: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16.
- Leggi la deviazione standard campionaria (s) se i tuoi dati sono un campione estratto da una popolazione più ampia, il caso abituale in sondaggi, esperimenti e controlli di qualità.
- Leggi la deviazione standard di popolazione (sigma) se i tuoi dati costituiscono l'intera popolazione di interesse.
- Usa media, varianza campionaria e conteggio per controllare il calcolo o per proseguire l'analisi con intervalli di confidenza e punteggi Z.
Le formule della deviazione standard
Entrambe le forme iniziano allo stesso modo: si calcola la media, la si sottrae da ciascun valore, si eleva al quadrato ogni scarto e si sommano i quadrati. La forma di popolazione divide quella somma per n ed estrae la radice quadrata; la forma campionaria divide per n - 1 ed estrae la radice quadrata.
Esempio svolto: i valori 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Passo 1 — media: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5. Passo 2 — scarti quadratici: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, la cui somma è 32. Passo 3 (popolazione) — 32 / 8 = 4 e √4 = 2. Passo 4 (campione) — 32 / 7 = 4,571429 (la varianza campionaria) e √4,571429 = 2,13809 (arrotondato).
Per gli stessi dati il valore campionario è sempre leggermente maggiore di quello di popolazione, poiché divide per un numero più piccolo, tranne quando tutti i valori sono identici: in quel caso entrambi valgono zero. Lo scarto fra i due si riduce al crescere del campione.
Errori comuni
- Applicare la formula di popolazione (divisione per n) a dati campionari: così si sottostima sistematicamente la dispersione della popolazione da cui il campione proviene; per i campioni si divide per n - 1.
- Confondere la varianza con la deviazione standard: la varianza è il quadrato della deviazione standard ed è espressa in unità al quadrato.
- Applicare la regola 68-95-99,7 a dati chiaramente asimmetrici o con code pesanti, dove non vale.
- Confrontare le deviazioni standard di insiemi di dati misurati in unità diverse o su scale molto differenti senza standardizzare (per la dispersione relativa, il coefficiente di variazione divide per la media).
Domande frequenti
Qual è la differenza fra deviazione standard campionaria e di popolazione?
La deviazione standard di popolazione divide la somma degli scarti quadratici per n ed è corretta quando i tuoi dati sono l'intera popolazione. Quella campionaria divide per n - 1 (correzione di Bessel) ed è corretta quando i dati sono un campione usato per stimare la dispersione di una popolazione più ampia. A parità di dati il valore campionario è sempre leggermente maggiore (entrambi valgono zero se tutti i valori sono identici), e la differenza si attenua al crescere della numerosità del campione.
Perché si divide per n - 1 anziché per n?
Poiché la media campionaria è calcolata dagli stessi dati, gli scarti osservati rispetto a essa sono sistematicamente un po' più piccoli degli scarti rispetto alla vera media della popolazione. Dividere per n - 1 invece che per n compensa questa distorsione, rendendo la varianza campionaria uno stimatore non distorto della varianza della popolazione. Tale aggiustamento prende il nome di correzione di Bessel.
Come si calcola la deviazione standard a mano?
Trova innanzitutto la media. Sottrai poi la media da ciascun valore, eleva al quadrato ogni risultato e somma i quadrati. Per un campione dividi questa somma per n - 1; per una popolazione dividi per n. Estrai infine la radice quadrata. Esempio: per 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 la media è 5, la somma degli scarti quadratici è 32 e la deviazione standard campionaria è √(32 / 7) = 2,138 (arrotondato).
Che cosa significa una deviazione standard pari a 0?
Significa che tutti i valori dell'insieme sono identici: non c'è alcuna dispersione. Quanto più grande è la deviazione standard, tanto più i valori si discostano tipicamente dalla media. La deviazione standard non può mai essere negativa.
Che cos'è la regola 68-95-99,7?
Per dati approssimativamente normali (a campana), circa il 68% dei valori ricade entro una deviazione standard dalla media, circa il 95% entro due e circa il 99,7% entro tre. La regola è un modo rapido per giudicare se un'osservazione sia insolita, ma risulta affidabile soltanto quando la distribuzione è all'incirca normale.
La varianza coincide con la deviazione standard?
No. La varianza è la media degli scarti quadratici dalla media, mentre la deviazione standard ne è la radice quadrata. La varianza si esprime in unità al quadrato (per esempio cm^2 per dati misurati in cm), ed è questo il motivo per cui, nel descrivere la dispersione, si cita di solito la deviazione standard, espressa nelle unità originarie.
Fonti
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6: Measures of Scale. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (sample vs population standard deviation).
- Weisstein, Eric W. "Standard Deviation" and "Bessel's Correction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.